Calcule as duas primeiras iterações dos métodos Gauss-Jacobi e GaussSeidel do sistema linear a seguir. Use como vetor inicial: x^(0)=(lll1 & 2 & 3)^t.
c 4 x1+2 x2-9 x3=7 5 x1-6 x2-8 x3=3 1 x1-2 x2+15 x3=5

Passo 1

O enunciado pede para aplicar os métodos iterativos de Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel em
4x1 + 2x2 - 9x3 = 7, 5x1 - 6x2 - 8x3 = 3, x1 - 2x2 +15x3 = 5,
usando x^(0)=(1,2,3)^t. O conteúdo é iteração de sistemas lineares: isolamos cada variável e atualizamos conforme o método escolhido.

Passo 2

Isolando cada xi obtemos as fórmulas iterativas comuns:
x1 = 7 - 2x2 + 9x34, x2 = 5x1 - 8x3 - 36, x3 = 5 - x1 + 2x215

Passo 3

Primeira e segunda iterações de Gauss–Jacobi (usando sempre valores de x^(k) para atualizar todos os componentes):
x1^(1) = 7 - 2cdot2 + 9cdot34 = 304 = 7,5, x2^(1) = 5cdot1 - 8cdot3 - 36 = -113, x3^(1) = 5 - 1 + 2cdot215 = 815
x1^(2) = 7 - 2l(-tfrac113r) + 9cdottfrac8154 = 28760, x2^(2) = 5cdot7,5 - 8cdottfrac815 - 36 = 907180, x3^(2) = 5 - 7,5 + 2l(-tfrac113r)15 = -5990

Passo 4

No método de Gauss–Seidel usa-se imediatamente o valor atualizado de cada componente assim que ele é calculado.

Passo 5

Primeira iteração de Gauss–Seidel:
x1^(1) = 7 - 2cdot2 + 9cdot34 = 7,5, x2^(1) = 5cdot7,5 - 8cdot3 - 36 = 74, x3^(1) = 5 - 7,5 + 2cdottfrac7415 = 115

Passo 6

Segunda iteração de Gauss–Seidel:
x1^(2) = 7 - 2cdottfrac74 + 9cdottfrac1154 = 1,025, x2^(2) = 5cdot1,025 - 8cdottfrac115 - 36 approx 0,26528, x3^(2) = 5 - 1,025 + 2cdot0,2652815 approx 0,30037

Resposta

Gauss–Jacobi:
x^(1) = 7,5 [3pt] -tfrac113 [3pt] tfrac815, x^(2) = tfrac28760 [3pt] tfrac907180 [3pt] -tfrac5990
Gauss–Seidel:
x^(1) = 7,5 [3pt] tfrac74 [3pt] tfrac115, x^(2) approx 1,025 [3pt] 0,26528 [3pt] 0,30037 ]

Exercícios relacionados