Calcule el valor de y(1) partir da solucao da equacao diferencial ordinaria pelo metodo de Euler melhorado.
y^prime=3 y+2 x
com y(0)=0.1
h=0.2

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial ordinária
y' = 3y + 2x, y(0)=0.1
e queremos aproximar o valor de usando o método de Euler melhorado (também chamado de Heun) com passo .
Conteúdo da matéria: métodos numéricos para EDO, em especial o Euler melhorado. Vamos precisar saber:
- Como definir a função .
- A fórmula do Euler melhorado (predictor-corrector).
- Fazer contas simples de soma e multiplicação para cada iteração.

Passo 2

O método de Euler melhorado consiste em, para cada ponto fn = f(xn,yn) = 3,yn + 2,xn :
  1. Calcular a inclinação inicial yn^pred = yn + h,fn
  2. Fazer um “chute” (predictor) para o próximo valor fn+1^est = fl(xn+h,;yn^predr) = 3,yn^pred + 2,(xn+h)
  3. Avaliar a inclinação no ponto previsto yn+1 = yn + h2,l(fn + fn+1^estr)
  4. Corrigir (corrector) usando a média das inclinações
Isso dá uma aproximação melhor que o Euler simples, porque usa a inclinação média no intervalo.

Passo 3

Iteração de y1 = 0.1 + 0.22(0.3 + 0.88) = 0.1 + 0.1cdot1.18 = 0.218 até :
  • .
  • Predictor:
  • Corrector:

Passo 4

Iteração de y2 = 0.218 + 0.1,(1.054 + 2.0864) = 0.218 + 0.31404 = 0.53204 até :
  • .
  • Predictor:
  • Corrector:

Passo 5

Iteração de y3 = 0.53204 + 0.1,(2.39612 + 4.233792) = 0.53204 + 0.6629912 = 1.1950312 até :
  • .
  • Predictor:
  • Corrector:

Passo 6

Iteração de y4 = 1.1950312 + 0.1,(4.7850936 + 8.05614976) = 2.479155536 até y5 = 2.479155536 + 0.1,(9.037466608 + 14.8599465728) = 4.86889685408 e depois até :
  1. De 0.6 a 0.8:
    • .
    • Predictor:
    • Corrector:
  2. De 0.8 a 1.0:
    • .
    • Predictor:
    • Corrector final:

Resposta

Aproximadamente
y(1)approx 4.8689

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