Considere a integral
Estime I pela regra de regra dos trapézios com erro menor que ,
Passo 1
Beleza, vamos lá. O problema pede para estimar
usando a regra dos trapézios, garantindo que o erro seja menor que .
Isso é do conteúdo de Métodos Numéricos (Regra dos Trapézios e cota de erro).
Para resolver, vamos precisar:
calcular as derivadas de ,
usar a fórmula de cota de erro da regra dos trapézios,
achar o mínimo para ,
aplicar a regra dos trapézios com esse .
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas de : .
Agora a segunda derivada:
Para usar na cota de erro, precisamos de um tal que em .
Como e ,
Logo podemos tomar .
Passo 3
A cota de erro da regra dos trapézios (com ET <= (b-a)^312,n^2,max[a,b]|f''(x)| subintervalos de largura ET <= 112,n^2,M = 612,n^2 = 0.5n^2 ) é
n^2 > 0.50.1 = 5 Longrightarrow n > raiz5approx2,24
Aqui , , então e
Queremos .
Isso dá
Como tem que ser inteiro, escolhemos .
Passo 4
Agora aplicamos a regra dos trapézios com f(0)=cos(0)=1, fl(tfrac13r)=cosl(tfrac19r)approx0.9938, .
O passo é fl(tfrac23r)=cosl(tfrac49r)approx0.9020, f(1)=cos(1)approx0.5403 . Os pontos são Iapprox h2l[f(x0)+2f(x1)+2f(x2)+f(x3)r] = 1/32l[1 + 2(0.9938+0.9020) + 0.5403r] , Iapprox 5.33196 approx 0.88865 , , .
Calculamos em cada um:
A aproximação é
Dentro dos colchetes fica .
Multiplicando por dá
Resposta
Usando a regra dos trapézios com boxedIapprox 0.8886, , obtemos