Considere a integral I=integral0^1 cos (-x^2) d x
Estime I pela regra de regra dos trapézios com erro menor que 10^-1,

Passo 1

Beleza, vamos lá. O problema pede para estimar

usando a regra dos trapézios, garantindo que o erro seja menor que .
Isso é do conteúdo de Métodos Numéricos (Regra dos Trapézios e cota de erro).
Para resolver, vamos precisar:
  1. calcular as derivadas de ,
  2. usar a fórmula de cota de erro da regra dos trapézios,
  3. achar o mínimo para ,
  4. aplicar a regra dos trapézios com esse .

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas de f''(x) = ddxl(-2x,sin(x^2)r) = -2,sin(x^2);-;2x,(2xcos(x^2)) = -2sin(x^2);-;4x^2cos(x^2) :
|f''(x)|<= 2 + 4x^2 <= 2 + 4cdot1^2 = 6 .
Agora a segunda derivada:
Para usar na cota de erro, precisamos de um tal que
em .
Como e ,
Logo podemos tomar .

Passo 3

A cota de erro da regra dos trapézios (com ET <= (b-a)^312,n^2,max[a,b]|f''(x)| subintervalos de largura ET <= 112,n^2,M = 612,n^2 = 0.5n^2 ) é
n^2 > 0.50.1 = 5 Longrightarrow n > raiz5approx2,24
Aqui , , então e
Queremos .
Isso dá
Como tem que ser inteiro, escolhemos .

Passo 4

Agora aplicamos a regra dos trapézios com f(0)=cos(0)=1, fl(tfrac13r)=cosl(tfrac19r)approx0.9938, .
O passo é fl(tfrac23r)=cosl(tfrac49r)approx0.9020, f(1)=cos(1)approx0.5403 . Os pontos são
Iapprox h2l[f(x0)+2f(x1)+2f(x2)+f(x3)r] = 1/32l[1 + 2(0.9938+0.9020) + 0.5403r] , Iapprox 5.33196 approx 0.88865 , , .
Calculamos em cada um:
A aproximação é
Dentro dos colchetes fica
.
Multiplicando por

Resposta

Usando a regra dos trapézios com boxedIapprox 0.8886, , obtemos
com erro garantido menor que .

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