Seja a função f(x)=3^x
Determine uma aproximação para raiz3 usando o polinômio de Taylor de grau 3

Passo 1

Então, o exercício diz: “Seja a função . Determine uma aproximação para usando o polinômio de Taylor de grau 3.”
Conteúdo: polinômio de Taylor.
O que vamos precisar:
  1. A fórmula do polinômio de Taylor de grau 3 em torno de um ponto ,
  2. As derivadas de em ,
  3. Avaliar esse polinômio em , porque .

Passo 2

Teoria passo a passo:
O polinômio de Taylor de grau 3 de P3(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)2!(x-x0)^2+f'''(x0)3!(x-x0)^3 em torno de é
Aqui vamos escolher (porque é fácil). Precisamos então de .

Passo 3

Calcular as derivadas de P3(x) =1+ln3;x+(ln3)^22!,x^2+(ln3)^33!,x^3 :

  • Agora avaliar em :
Então o polinômio é, com :

Passo 4

Agora basta avaliar em P3l(tfrac12r) =1+ln3cdottfrac12 +(ln3)^22,l(tfrac12r)^2 +(ln3)^36,l(tfrac12r)^3 para aproximar :
Escrevendo cada termo:
  1. , então .
  2. , e .
  3. , e .

Passo 5

Somando tudo:
P3(tfrac12)approx1 + 0,5493 + 0,1509 + 0,0276 = 1,7278

Resposta

Aproximação de boxedraiz3approx1,7278 pelo polinômio de Taylor de grau 3 em torno de 0:

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