Considere os pontos na tabela abaixo. O polinômio P3(x)=-2+2 x+x^2+x^3 passa pelos pontos (xi, yi) para i in0,1,3,4.
i 0 1 2 3 4
xi -2 -1 0 1 2
yi -10 -4 -4 2 14
(b) Determine P4(1,5).

Passo 1

Beleza, resumo rapidinho o que rolou: a gente tem cinco pontos
P3(x)=-2+2x+x^2+x^3, com
i: 0,1,2,3,4
e os pares
.
Já existe um polinômio de grau 3,
que passa por quatro desses pontos (i=0,1,3,4), mas falha em i=2.
O que a questão (b) pede é: ache o polinômio de grau 4, , que passa por todos os cinco pontos, e então calcule .
Conteúdo: conceito de interpolação polinomial e construção de um “termo extra” que acerta só no ponto faltante.

Passo 2

Teoria básica de interpolação simples: se já tenho um polinômio A,(x - x0)(x - x1)(x - x3)(x - x4) que acerta em quatro pontos e quero forçar que ele acerte num quinto ponto diferente, basta somar um termo do tipo
que zera em cada um dos quatro pontos que já batiam, mudando só no ponto que faltou (i=2). Nesse caso nossos quatro “x” são , e o ponto faltante é .

Passo 3

Então a gente escreve
P4(x)=P3(x)+A,(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)
Para encontrar P4(0)=P3(0)+Acdot4=-2+4A , impomos que em A=-tfrac12 o valor seja o que queremos, ou seja .
  1. Primeiro, .
  2. Depois, o produto .
  3. Logo
deve ser igual a .
4) Resolvendo , ou seja

Passo 4

Agora a fórmula prontinha é
P4(x) =P3(x)-tfrac12,(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)
Só falta pôr (1,5).

Passo 5

  1. Calcule P3(1.5)=-2+2cdot1.5+(1.5)^2+(1.5)^3 =-2+3+2.25+3.375 =6.625 :
(1.5+2)(1.5+1)(1.5-1)(1.5-2) =3.5cdot2.5cdot0.5cdot(-0.5) =8.75cdot(-0.25) =-2.1875
  1. Calcule o termo extra em :
Multiplicando por

Resposta

Somando os dois resultados:
P4(1,5)=6.625+1.09375=7.71875
Portanto, .

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