Considere os pontos na tabela abaixo. O polinômio
passa pelos pontos
para
.
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
|
-2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|
-10 | -4 | -4 | 2 | 14 |
(b) Determine
.
Passo 1
Beleza, resumo rapidinho o que rolou: a gente tem cinco pontos
com
i: 0,1,2,3,4
e os pares
.
Já existe um polinômio de grau 3,
i: 0,1,2,3,4
e os pares
Já existe um polinômio de grau 3,
que passa por quatro desses pontos (i=0,1,3,4), mas falha em i=2.
O que a questão (b) pede é: ache o polinômio de grau 4, , que passa por todos os cinco pontos, e então calcule
.
Conteúdo: conceito de interpolação polinomial e construção de um “termo extra” que acerta só no ponto faltante.
O que a questão (b) pede é: ache o polinômio de grau 4,
Conteúdo: conceito de interpolação polinomial e construção de um “termo extra” que acerta só no ponto faltante.
Passo 2
Teoria básica de interpolação simples: se já tenho um polinômio
que acerta em quatro pontos e quero forçar que ele acerte num quinto ponto diferente, basta somar um termo do tipo
que zera em cada um dos quatro pontos que já batiam, mudando só no ponto que faltou (i=2). Nesse caso nossos quatro “x” são
, e o ponto faltante é
.
Passo 3
Então a gente escreve
Para encontrar
, impomos que em
o valor seja o
que queremos, ou seja
.
- Primeiro,
. - Depois, o produto
. - Logo
deve ser igual a
.
4) Resolvendo dá
, ou seja
4) Resolvendo
Passo 4
Agora a fórmula prontinha é
Só falta pôr
(1,5).
Passo 5
- Calcule
:
- Calcule o termo extra em
:
Multiplicando por
dá
Resposta
Somando os dois resultados:
Portanto,
.