Calcule explicitamente as integrais de caminho para as seguintes funções e contornos respectivos:
(b) f(z)=\bar{z} \quad C : círculo de raio 2 em torno da origem (sentido anti-horário)

Passo 1

O enunciado pede para calcular explicitamente a integral de caminho da função \bar{z} ao longo do contorno C, que é o círculo de raio 2 centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário.
Informações dadas e o que se pede:
\text{função: }\; f(z)=\overline{z}çã
\text{contorno: círculo centrado na origem de raio }2,\; \text{orientação: anti-horário}íçãá
\text{pedido: } \oint_{C} \overline{z}\,dz \quad\text{(calcular explicitamente)}

Passo 2

Vamos usar a definição prática de integral de linha no plano complexo: se z(t) é uma parametrização suave do contorno C para t\in[a,b], então
\oint_{C} \overline{z}\,dz = \int_{a}^{b} \overline{z(t)}\,z'(t)\,dt.
Aqui z'(t) é a derivada da parametrização em relação a t e dt é o incremento do parâmetro. A ideia é transformar a integral de caminho numa integral usual em t.

Passo 3

Parametrizamos o círculo de raio 2 centrado na origem, sentido anti-horário, por
z(t)=2e^{it},\qquad 0\le t\le 2\pi.
Essa é a parametrização padrão: quando t aumenta de 0 a 2\pi percorremos o círculo uma volta no sentido anti-horário.

Passo 4

Calculemos a conjugada da parametrização. Como e^{it}=\cos t + i\sin t, sua conjugada é e^{-it}=\cos t - i\sin t. Logo
\overline{z(t)}=2e^{-it}.

Passo 5

Calculemos a derivada z'(t). Derivando z(t)=2e^{it} em relação a t vem
z'(t)=2i e^{it}.

Passo 6

Agora formamos o integrando \overline{z(t)}\,z'(t):
\overline{z(t)}\,z'(t) = \bigl(2e^{-it}\bigr)\bigl(2i e^{it}\bigr) = 4i\,e^{-it}e^{it} = 4i.
Observe que as exponenciais se cancelam porque e^{-it}e^{it}=e^{0}=1. O integrando ficou uma constante complexa muito simples: 4i.

Passo 7

Integramos em t de 0 a 2\pi:
\oint_{C}\overline{z}\,dz = \int_{0}^{2\pi} 4i \,dt = 4i\cdot\bigl(2\pi-0\bigr)=8\pi i.

Passo 8

Comentário didático extra (útil na prova): existe uma fórmula geral que liga essa integral à área da região interna: para um contorno simples fechado C em sentido positivo,
\oint_{C}\overline{z}\,dz = 2i\cdot \text{Área}(D),Á
onde D é a região encerrada por C. No nosso caso \text{Área}(D)=\pi\cdot 2^{2}=4\piÁ, daí 2i\cdot 4\pi=8\pi i. Essa observação pode poupar tempo quando o problema pede uma integral do tipo \oint \overline{z}\,dz sobre curvas simples.

Resposta

\;8\pi i

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