Calcule explicitamente as integrais de caminho para as seguintes funções e contornos respectivos:
(b) f(z)=\bar{z} \quad C : círculo de raio 2 em torno da origem (sentido anti-horário)
Passo 1
O enunciado pede para calcular explicitamente a integral de caminho da função \bar{z} ao longo do contorno C, que é o círculo de raio 2 centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário.
Informações dadas e o que se pede:
\text{função: }\; f(z)=\overline{z}
\text{contorno: círculo centrado na origem de raio }2,\; \text{orientação: anti-horário}
Aqui z'(t) é a derivada da parametrização em relação a t e dt é o incremento do parâmetro. A ideia é transformar a integral de caminho numa integral usual em t.
Passo 3
Parametrizamos o círculo de raio 2 centrado na origem, sentido anti-horário, por
z(t)=2e^{it},\qquad 0\le t\le 2\pi.
Essa é a parametrização padrão: quando t aumenta de 0 a 2\pi percorremos o círculo uma volta no sentido anti-horário.
Passo 4
Calculemos a conjugada da parametrização. Como e^{it}=\cos t + i\sin t, sua conjugada é e^{-it}=\cos t - i\sin t. Logo
\overline{z(t)}=2e^{-it}.
Passo 5
Calculemos a derivada z'(t). Derivando z(t)=2e^{it} em relação a t vem
z'(t)=2i e^{it}.
Passo 6
Agora formamos o integrando \overline{z(t)}\,z'(t):
Observe que as exponenciais se cancelam porque e^{-it}e^{it}=e^{0}=1. O integrando ficou uma constante complexa muito simples: 4i.
Passo 7
Integramos em t de 0 a 2\pi:
\oint_{C}\overline{z}\,dz = \int_{0}^{2\pi} 4i \,dt = 4i\cdot\bigl(2\pi-0\bigr)=8\pi i.
Passo 8
Comentário didático extra (útil na prova): existe uma fórmula geral que liga essa integral à área da região interna: para um contorno simples fechado C em sentido positivo,
onde D é a região encerrada por C. No nosso caso \text{Área}(D)=\pi\cdot 2^{2}=4\piÁ, daí 2i\cdot 4\pi=8\pi i. Essa observação pode poupar tempo quando o problema pede uma integral do tipo \oint \overline{z}\,dz sobre curvas simples.