Considere um número complexo arbitrário z=x+i y e seu complexo conjugado \bar{z}=x-i y.
(a) Apesar de z e \bar{z} não serem independentes, mostre que podemos definir os operadores
\begin{aligned} & \frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}-i \frac{\partial}{\partial y}\right) \\\ & \frac{\partial}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}+i \frac{\partial}{\partial y}\right) \end{aligned}
usando as transformações inversas
\begin{aligned} & x=\frac{z+\bar{z}}{2} \\\ & y=\frac{z-\bar{z}}{2 i} \end{aligned}
e a regra da cadeia, tratando z e \bar{z} como independentes. Os operadores (0.1) e (0.2) são chamados de operadores de Wirtinger e atuam formalmente segundo as regras:
\begin{aligned} & \frac{\partial z}{\partial z}=\frac{\partial \bar{z}}{\partial \bar{z}}=1 \\\ & \frac{\partial z}{\partial \bar{z}}=\frac{\partial \bar{z}}{\partial z}=0 . \end{aligned}
É importante observar que \frac{\partial f}{\partial z} é em geral diferente da derivada complexa \frac{d f}{d z}, pois esta última em geral não está definida para qualquer função complexa, mas somente para aquelas que são diferenciáveis. Contudo, \frac{\partial f}{\partial z} é sempre bem definido pela operação dada em (0.1).
(b) Mostre que as condições de Cauchy-Riemann para uma função f(z, \bar{z})=u(x, y)+ i v(x, y) são equivalentes à condição
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0 .
(c) Se f(z) for holomórfica (analítica), mostre que
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{d f}{d z} .
A condição (0.7) fornece uma perspectiva interessante sobre a condição para que uma função seja analítica: ela deve depender apenas de z e não de \bar{z}. Assim, se uma função
complexa for expressa em termos das variáveis reais x e y, pode-se usar as relações (0.4) (0.4), de modo a escrever a função em termos de z e \bar{z}. Se a função for analítica, a dependência em \bar{z} deve desaparecer.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras:
  • Dado um número complexo \displaystyle z=x+i y e seu conjugado \displaystyle \bar{z}=x-i y.
  • As transformações inversas são
x=\frac{z+\bar{z}}{2},\qquad y=\frac{z-\bar{z}}{2i}.
As perguntas do enunciado são:
(a) Mostrar que, tratando formalmente \displaystyle z e \displaystyle \bar{z} como independentes e usando a regra da cadeia, podemos definir os operadores
\frac{\partial}{\partial z}\quad\text{e}\quad\frac{\partial}{\partial \bar{z}}
e obter as expressões dadas, além de verificar as ações formais
\frac{\partial z}{\partial z}=\frac{\partial \bar{z}}{\partial \bar{z}}=1,\qquad \frac{\partial z}{\partial \bar{z}}=\frac{\partial \bar{z}}{\partial z}=0.
(b) Mostrar que, para f(z,\bar z)=u(x,y)+i v(x,y), as condições de Cauchy–Riemann são equivalentes à condição
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0.
(c) Mostrar que, se f é holomórfica (analítica), então
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{d f}{d z}.
Não inicio a resolução aqui — apenas listei o que é dado e o que se pede.

Passo 2

Derivação das expressões de \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} e \displaystyle \frac{\partial}{\partial \bar{z}} usando a regra da cadeia.
Explicação da ideia: tratar \displaystyle z e \displaystyle \bar z como variáveis independentes e aplicar a regra da cadeia nos operadores parciais. Se uma função g depende de x e y, que por sua vez dependem de z e \bar z, então, por exemplo,
\frac{\partial}{\partial z}= \frac{\partial x}{\partial z}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial z}\frac{\partial}{\partial y},
porque ao variar z mantendo \bar z fixo, x e y mudam conforme suas derivadas parciais em relação a z.
Agora calculemos as derivadas parciais de x e y em função de z e \bar z. Das fórmulas invertidas temos
x=\frac{z+\bar z}{2},\qquad y=\frac{z-\bar z}{2i}.
Tomando derivadas parciais (tratando \bar z fixo ao derivar em relação a z, e vice-versa):
\frac{\partial x}{\partial z}=\frac{1}{2},\qquad \frac{\partial y}{\partial z}=\frac{1}{2i}=\,-\frac{i}{2},
\frac{\partial x}{\partial \bar z}=\frac{1}{2},\qquad \frac{\partial y}{\partial \bar z}=-\frac{1}{2i}=\frac{i}{2}.
Usando a expressão geral da regra da cadeia para \partial/\partial z:
\frac{\partial}{\partial z} = \frac{\partial x}{\partial z}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial z}\frac{\partial}{\partial y} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{1}{2i}\frac{\partial}{\partial y}.
Como \displaystyle \frac{1}{2i}=-\frac{i}{2}, isto fica
\frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}\Big(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}\Big).
Análogo para \partial/\partial\bar z:
\frac{\partial}{\partial \bar z} = \frac{\partial x}{\partial \bar z}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial \bar z}\frac{\partial}{\partial y} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{i}{2}\frac{\partial}{\partial y} = \frac{1}{2}\Big(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\Big).
Concluímos as fórmulas de Wirtinger pedidas:
\frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}\Big(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}\Big),\qquad \frac{\partial}{\partial \bar z}=\frac{1}{2}\Big(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\Big).

Passo 3

Verificação das ações formais \displaystyle \frac{\partial z}{\partial z}=1, \displaystyle \frac{\partial \bar z}{\partial z}=0 (e análogas para \partial/\partial\bar z) aplicando os operadores que acabamos de obter.
Calcule \displaystyle \frac{\partial z}{\partial z} onde \displaystyle z=x+iy. Usando \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}(\partial_x - i\partial_y):
\frac{\partial z}{\partial z} = \frac{1}{2}\Big(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}\Big)(x+iy).
Agora avalie as derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial x}(x+iy)=1,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(x+iy)=i.
Logo
\frac{\partial z}{\partial z} = \frac{1}{2}\big(1 - i\cdot i\big) = \frac{1}{2}\big(1- i^2\big) = \frac{1}{2}(1-(-1))=\frac{1}{2}\cdot 2=1.
Agora calcule \displaystyle \frac{\partial \bar z}{\partial z} com \displaystyle \bar z=x-iy:
\frac{\partial \bar z}{\partial z} = \frac{1}{2}\Big(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}\Big)(x-iy).
Aqui \partial_x(x-iy)=1 e \partial_y(x-iy)=-i. Assim
\frac{\partial \bar z}{\partial z} = \frac{1}{2}\big(1 - i(-i)\big) = \frac{1}{2}\big(1 - ( - i^2)\big) = \frac{1}{2}\big(1-1\big)=0,
pois i(-i)=-i^2=1.
Análogas contas para \partial/\partial\bar z=\tfrac12(\partial_x+i\partial_y) dão
\frac{\partial \bar z}{\partial \bar z}=1,\qquad \frac{\partial z}{\partial \bar z}=0.
Isto confirma as regras formais de Wirtinger pedidas.

Passo 4

Mostrando que \displaystyle \frac{\partial f}{\partial \bar z}=0 é equivalente às equações de Cauchy–Riemann.
Começamos escrevendo f=u(x,y)+i v(x,y). Usamos a definição
\frac{\partial f}{\partial \bar z}=\frac{1}{2}\Big(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\Big)f.
Aplicando ao f:
\frac{\partial f}{\partial \bar z} = \frac{1}{2}\Big(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\Big)\big(u+iv\big).
Calculemos as derivadas parciais termos a termo:
\frac{\partial}{\partial x}(u+iv)=u_x + i v_x,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(u+iv)=u_y + i v_y.
Então
\frac{\partial f}{\partial \bar z} = \frac{1}{2}\big[(u_x + i v_x) + i(u_y + i v_y)\big].
Expanda o segundo termo:
i(u_y + i v_y)= i u_y + i^2 v_y = i u_y - v_y.
Logo
\frac{\partial f}{\partial \bar z} = \frac{1}{2}\big[(u_x - v_y) + i(v_x + u_y)\big].
Assim \displaystyle \frac{\partial f}{\partial \bar z}=0 é equivalente a ambas as equações:
u_x - v_y=0,\qquad v_x + u_y=0.
Reescrevendo, isto é
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x,
que são exatamente as equações de Cauchy–Riemann. Portanto mostramos a equivalência pedida.

Passo 5

Mostrando que, se f for holomórfica (analítica), então \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{d f}{d z}.
Primeiro, lembre que ser holomórfica significa que a derivada complexa \displaystyle f'(z)=\frac{df}{dz} existe — isto implica que as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas e que as parciais são contínuas. A partir do Passo 4, isto é equivalente a \displaystyle \frac{\partial f}{\partial \bar z}=0.
Escrevemos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} em termos de u,v:
\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{2}\Big(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}\Big)(u+iv) = \frac{1}{2}\big[(u_x + i v_x) - i(u_y + i v_y)\big].
Calcule o segundo termo: -i(u_y + i v_y) = -i u_y + v_y. Então
\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{2}\big[(u_x + i v_x) - i u_y + v_y\big] = \frac{1}{2}\big[(u_x+v_y) + i(v_x - u_y)\big].
Agora imponha as equações de Cauchy–Riemann u_x=v_y e u_y=-v_x. Substituindo:
u_x+v_y = u_x+u_x = 2u_x,\qquad v_x - u_y = v_x - (-v_x) = 2v_x.
Logo
\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{2}\big(2u_x + i\cdot 2 v_x\big)= u_x + i v_x.
Mas u_x + i v_x é exatamente \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}. Para uma função holomórfica a derivada complexa \displaystyle f'(z) existe e, por definição via limite ao longo de qualquer direção, coincide com a derivada direcional ao longo do eixo real; isto é,
\frac{df}{dz}= \frac{\partial f}{\partial x}=u_x + i v_x.
(Comentário rápido: a razão é que a existência de f'(z) e as equações de Cauchy–Riemann garantem que as derivadas direcionais em qualquer direção são iguais, portanto tomar a direção real dá o mesmo valor.)
Portanto, quando f é holomórfica,
\frac{\partial f}{\partial z} = u_x + i v_x = \frac{df}{dz}.

Passo 6

Um exemplo curto para fixar (opcional mas útil): tome f(z)=z^2. Escrevendo z=x+iy temos f=x^2-y^2 + i(2xy). Calculando com as fórmulas:
\frac{\partial f}{\partial \bar z} = \frac{1}{2}(\partial_x + i\partial_y)f = 0
(pois f é polinomial em z só), e
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{1}{2}(\partial_x - i\partial_y)f = 2z,
que coincide com \displaystyle \frac{df}{dz}=2z. Isso confirma concretamente (b) e (c) neste exemplo.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}\Big(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}\Big),\qquad \displaystyle \frac{\partial}{\partial \bar z}=\frac{1}{2}\Big(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\Big) e \displaystyle \frac{\partial z}{\partial z}=\frac{\partial \bar z}{\partial \bar z}=1,\\ \frac{\partial z}{\partial \bar z}=\frac{\partial \bar z}{\partial z}=0.
(b) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial \bar z}=0 é equivalente às equações de Cauchy–Riemann u_x=v_y,\;u_y=-v_x.
(c) Se f é holomórfica então \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{df}{dz}.

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