Considere um número complexo arbitrário
e seu complexo conjugado
.
(a) Apesar de
e
não serem independentes, mostre que podemos definir os operadores
usando as transformações inversas
e a regra da cadeia, tratando
e
como independentes. Os operadores (0.1) e (0.2) são chamados de operadores de Wirtinger e atuam formalmente segundo as regras:
É importante observar que
é em geral diferente da derivada complexa
, pois esta última em geral não está definida para qualquer função complexa, mas somente para aquelas que são diferenciáveis. Contudo,
é sempre bem definido pela operação dada em (0.1).
(b) Mostre que as condições de Cauchy-Riemann para uma função
são equivalentes à condição
(c) Se
for holomórfica (analítica), mostre que
A condição (0.7) fornece uma perspectiva interessante sobre a condição para que uma função seja analítica: ela deve depender apenas de
e não de
. Assim, se uma função
complexa for expressa em termos das variáveis reais
e
, pode-se usar as relações (0.4) (0.4), de modo a escrever a função em termos de
e
. Se a função for analítica, a dependência em
deve desaparecer.
(a) Apesar de
(b) Mostre que as condições de Cauchy-Riemann para uma função
complexa for expressa em termos das variáveis reais
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras:
- Dado um número complexo
e seu conjugado . - As transformações inversas são
As perguntas do enunciado são:
(a) Mostrar que, tratando formalmente
e
como independentes e usando a regra da cadeia, podemos definir os operadores
e obter as expressões dadas, além de verificar as ações formais
(b) Mostrar que, para
, as condições de Cauchy–Riemann são equivalentes à condição
(c) Mostrar que, se
é holomórfica (analítica), então
Não inicio a resolução aqui — apenas listei o que é dado e o que se pede.
Passo 2
Derivação das expressões de
e
usando a regra da cadeia.
Explicação da ideia: tratar
e
como variáveis independentes e aplicar a regra da cadeia nos operadores parciais. Se uma função
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
, então, por exemplo,
porque ao variar
mantendo
fixo,
e
mudam conforme suas derivadas parciais em relação a
.
Agora calculemos as derivadas parciais de
e
em função de
e
. Das fórmulas invertidas temos
Tomando derivadas parciais (tratando
fixo ao derivar em relação a
, e vice-versa):
Usando a expressão geral da regra da cadeia para
:
Como
, isto fica
Análogo para
:
Concluímos as fórmulas de Wirtinger pedidas:
Passo 3
Verificação das ações formais
,
(e análogas para
) aplicando os operadores que acabamos de obter.
Calcule
onde
. Usando
:
Agora avalie as derivadas parciais:
Logo
Agora calcule
com
:
Aqui
e
. Assim
pois
.
Análogas contas para
dão
Isto confirma as regras formais de Wirtinger pedidas.
Passo 4
Mostrando que
é equivalente às equações de Cauchy–Riemann.
Começamos escrevendo
. Usamos a definição
Aplicando ao
:
Calculemos as derivadas parciais termos a termo:
Então
Expanda o segundo termo:
Logo
Assim
é equivalente a ambas as equações:
Reescrevendo, isto é
que são exatamente as equações de Cauchy–Riemann. Portanto mostramos a equivalência pedida.
Passo 5
Mostrando que, se
for holomórfica (analítica), então
.
Primeiro, lembre que ser holomórfica significa que a derivada complexa
existe — isto implica que as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas e que as parciais são contínuas. A partir do Passo 4, isto é equivalente a
.
Escrevemos
em termos de
:
Calcule o segundo termo:
. Então
Agora imponha as equações de Cauchy–Riemann
e
. Substituindo:
Logo
Mas
é exatamente
. Para uma função holomórfica a derivada complexa
existe e, por definição via limite ao longo de qualquer direção, coincide com a derivada direcional ao longo do eixo real; isto é,
(Comentário rápido: a razão é que a existência de
e as equações de Cauchy–Riemann garantem que as derivadas direcionais em qualquer direção são iguais, portanto tomar a direção real dá o mesmo valor.)
Portanto, quando
é holomórfica,
Passo 6
Um exemplo curto para fixar (opcional mas útil): tome
. Escrevendo
temos
. Calculando com as fórmulas:
(pois
é polinomial em
só), e
que coincide com
. Isso confirma concretamente (b) e (c) neste exemplo.
Resposta
(a)
e
(b) é equivalente às equações de Cauchy–Riemann
(c) Se é holomórfica então
(b)
(c) Se