Calcule explicitamente as integrais de caminho para as seguintes funções e contornos respectivos:
(a)
: segmento de reta conectando os pontos
e
(a)
Passo 1
O enunciado pede o integral de caminho de
ao longo do contorno
, que é o segmento de reta que conecta os pontos
e
. Aqui interpreto esses pares como números complexos:
A tarefa é calcular explicitamente
Passo 2
Observação teórica (muito útil na prova): se uma função
tem uma primitiva
num domínio que contém o caminho
, então o integral de
ao longo de
depende só dos extremos e vale
No nosso caso
é um polinômio (função inteira), portanto tem primitiva global dada por
pois a derivada de
é
Logo podemos usar diretamente a fórmula de Newton–Leibniz para integrais complexos:
Passo 3
Calculemos
passo a passo. Primeiro
Elevando ao quadrado:
Agora o cubo:
Multiplicando termo a termo:
Somando:
Passo 4
Agora
. Primeiro
Quadrado:
Cubo:
Multiplicando termo a termo:
Somando:
Passo 5
Aplicando a fórmula com os cubos calculados:
Compute a diferença no numerador:
Logo
Passo 6
Verificação curta (método por parametrização, só para treinar): parametrizamos o segmento por
onde
e
. Então
Expandindo e integrando termo a termo dá a mesma expressão final (após calcular
e
), confirmando