Calcule explicitamente as integrais de caminho para as seguintes funções e contornos respectivos:
(a) f(z)=z^{2} \quad C : segmento de reta conectando os pontos z_{i}=(1,2) e z_{f}=(5,-6)

Passo 1

O enunciado pede o integral de caminho de f(z)=z^{2} ao longo do contorno C, que é o segmento de reta que conecta os pontos z_{i}=(1,2) e z_{f}=(5,-6). Aqui interpreto esses pares como números complexos:
z_{i}=1+2i,\qquad z_{f}=5-6i.
A tarefa é calcular explicitamente
\int_{C} z^{2}\,dz.

Passo 2

Observação teórica (muito útil na prova): se uma função f tem uma primitiva F num domínio que contém o caminho C, então o integral de f ao longo de C depende só dos extremos e vale
\int_{C} f(z)\,dz = F(z_{f}) - F(z_{i}).
No nosso caso f(z)=z^{2} é um polinômio (função inteira), portanto tem primitiva global dada por
F(z)=\frac{z^{3}}{3},
pois a derivada de F é
F'(z)=\frac{d}{dz}\!\left(\frac{z^{3}}{3}\right)=z^{2}.
Logo podemos usar diretamente a fórmula de Newton–Leibniz para integrais complexos:
\int_{C} z^{2}\,dz = \frac{z_{f}^{3}-z_{i}^{3}}{3}.

Passo 3

Calculemos z_{i}^{3} passo a passo. Primeiro
z_{i}=1+2i.
Elevando ao quadrado:
z_{i}^{2}=(1+2i)^{2}=1+4i+4i^{2}=1+4i-4=-3+4i.
Agora o cubo:
z_{i}^{3}=z_{i}^{2}\cdot z_{i}=(-3+4i)(1+2i).
Multiplicando termo a termo:
(-3)(1)=-3,\quad (-3)(2i)=-6i,\quad (4i)(1)=4i,\quad (4i)(2i)=8i^{2}=-8.
Somando:
z_{i}^{3}=(-3-8)+(-6i+4i)=-11-2i.

Passo 4

Agora z_{f}^{3}. Primeiro
z_{f}=5-6i.
Quadrado:
z_{f}^{2}=(5-6i)^{2}=25-60i+36i^{2}=25-60i-36=-11-60i.
Cubo:
z_{f}^{3}=z_{f}^{2}\cdot z_{f}=(-11-60i)(5-6i).
Multiplicando termo a termo:
(-11)(5)=-55,\quad (-11)(-6i)=66i,\quad (-60i)(5)=-300i,\quad (-60i)(-6i)=360i^{2}=-360.
Somando:
z_{f}^{3}=(-55-360)+(66i-300i)=-415-234i.

Passo 5

Aplicando a fórmula com os cubos calculados:
\int_{C} z^{2}\,dz = \frac{z_{f}^{3}-z_{i}^{3}}{3}=\frac{(-415-234i)-(-11-2i)}{3}.
Compute a diferença no numerador:
(-415-234i)-(-11-2i)=(-415+11)+(-234i+2i)=-404-232i.
Logo
\int_{C} z^{2}\,dz=\frac{-404-232i}{3}=-\frac{404}{3}-\frac{232}{3}i.

Passo 6

Verificação curta (método por parametrização, só para treinar): parametrizamos o segmento por
z(t)=z_{i}+t(z_{f}-z_{i}),\qquad 0\le t\le1,
onde \Delta z=z_{f}-z_{i}=4-8i e dz=\Delta z\,dt. Então
\int_{C} z^{2}\,dz = \Delta z\int_{0}^{1}(z_{i}+t\Delta z)^{2}dt.
Expandindo e integrando termo a termo dá a mesma expressão final (após calcular (\Delta z)^{2} e (\Delta z)^{3}), confirmando
\int_{C} z^{2}\,dz=-\frac{404}{3}-\frac{232}{3}i.

Resposta

-\dfrac{404}{3}-\dfrac{232}{3}i

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