Determine as transformadas inversas de Laplace das seguintes funções usando frações parciais:
(j) \frac{s^{2}+1}{s(s+1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{s^{2}+1}{s\,(s+1)^{2}},
ou seja, queremos f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t).
O método será decompor F(s) em frações parciais e usar as fórmulas conhecidas \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s+1)^{2}}\}=t\,e^{-t}.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais do tipo
\frac{s^{2}+1}{s\,(s+1)^{2}} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{(s+1)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por s\,(s+1)^{2}, obtemos
s^{2}+1 =A\,(s+1)^{2}+B\,s\,(s+1)+C\,s.

Passo 3

Expandindo e coletando termos em potências de s\): \[A\,(s^{2}+2s+1)+B\,(s^{2}+s)+C\,s =(A+B)\,s^{2}+(2A+B+C)\,s+A.
Como isso deve ser igual a s^{2}+0\cdot s+1, igualamos coeficientes:
\begin{cases} A+B=1,\\\\ 2A+B+C=0,\\\ A=1. \end{cases}
Da terceira equação segue A=1\]. Substituindo em \(A+B=1 B=0.
Por fim, 2\cdot1+0+C=0 leva a C=-2.

Passo 4

Substituindo A, B e C na decomposição:
F(s)=\frac{1}{s}+0\cdot\frac{1}{s+1}-2\cdot\frac{1}{(s+1)^{2}} =\frac{1}{s}-\frac{2}{(s+1)^{2}}.
Agora aplicamos as transformadas inversas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s}\Bigr\}(t)=1, \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s+1)^{2}}\Bigr\}(t)=t\,e^{-t}.
Portanto
f(t) =1-2\,\bigl(t\,e^{-t}\bigr) =1-2t\,e^{-t}.

Resposta

A transformada inversa de Laplace é
f(t)=1-2t\,e^{-t}.

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