Determine as transformadas inversas de Laplace das seguintes funções usando frações parciais:
(i) \frac{s}{(s+1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{s}{(s+1)^{2}},
ou seja, encontrar f(t) tal que f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}. Vamos usar frações parciais e a tabela básica de transformadas inversas.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais: note que
s = (s+1) - 1,
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\frac{s}{(s+1)^{2}} =\frac{(s+1)-1}{(s+1)^{2}} =\frac{1}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^{2}}.

Passo 3

Pela tabela de transformadas inversas temos: \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{s+1}\bigr\}=e^{-t}
e \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{(s+1)^{2}}\bigr\}=t\,e^{-t}.

Resposta

f(t)=e^{-t}-t\,e^{-t},\quad t\ge0.

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