Calcule f^prime(x):=lim h 0 f(x+h)-f(x)h sendo f dada por. Note que f^prime(x) é por definição a derivada em um ponto qualquer no domínio de f .
f(x)=x^2

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente calcule a derivada de
f(x)=x^2
pela definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Isso faz parte de Cálculo Diferencial: a ideia é usar o quociente de diferenças e propriedades de limite. Vamos precisar de álgebra básica (expandir binômio) e das regras de limite (soma, produto e que ).

Passo 2

Escreve logo a definição da derivada usando f'(x) ;=;limhto0f(x+h)-f(x)h =limhto0(x+h)^2 - x^2h :
Aqui a gente só substituiu e na fórmula.

Passo 3

Agora expande o quadrado (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 . Lembra da fórmula do binômio:
(x+h)^2 - x^2 = l(x^2 + 2xh + h^2r) - x^2 = 2xh + h^2
Substituindo no numerador:

Passo 4

Então o quociente fica
(x+h)^2 - x^2h = 2xh + h^2h
A gente fatora 2xh + h^2 = h,(2x + h), no numerador:
h,(2x + h)h = 2x + h
e daí simplifica (pela regra de limite, na fração):

Passo 5

Só falta tomar o limite quando f'(x) = limhto0(2x + h) = 2x + 0 = 2x . Como não depende de e , temos

Resposta

boxedf'(x)=2x

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