Calcule f^prime(x):=lim h 0 f(x+h)-f(x)h sendo f dada por. Note que f^prime(x) é por definição a derivada em um ponto qualquer no domínio de f .
f(x)=2 x^2+x

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente calcular a derivada de
f(x)=2x^2 + x
usando a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Então o conteúdo aqui é: definição de derivada como limite da diferença quociente. Para resolver, vamos precisar lembrar como expandir polinômios, simplificar frações e tirar limite quando tende a zero.

Passo 2

Primeiro, substituímos (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 na função para achar f(x+h) = 2,(x+h)^2 + (x+h) = 2l(x^2 + 2xh + h^2r) + x + h .
Usamos a regra de expansão do quadrado:
Então

Passo 3

Distribuindo o f(x+h) = 2x^2 + 4xh + 2h^2 + x + h dentro dos parênteses, fica

Passo 4

Agora montamos a diferença quociente:
f(x+h)-f(x)h = l(2x^2 + 4xh + 2h^2 + x + hr) - l(2x^2 + xr)h
No numerador, f(x+h)-f(x) = 4xh + 2h^2 + h cancela:

Passo 5

Dividindo tudo por 4xh + 2h^2 + hh = 4x + 2h + 1 :

Passo 6

Por fim, aplicamos o limite quando limhto0(4x + 2h + 1) = 4x + 1 . Nesse caso, todo termo com some, sobrando
Isso é porque .

Resposta

boxedf'(x) = 4x + 1

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