O valor de pi pode ser obtido através da resolução das seguintes equações:
cos (x)+1=0
Aplique o método de Newton com x0=3 e com precisão 10^-7 em cada caso e compare os resultados obtidos. Justifique.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar o valor de π resolvendo
cos(x)+1=0
usando o método de Newton–Raphson, com chute inicial e parando quando
. O conteúdo aqui é o método de Newton, e o que vamos precisar é:
  1. Definir a função .
  2. Calcular a derivada .
  3. Aplicar a fórmula de iteração até atingir a precisão.

Passo 2

A função é
f(x)=cos x+1,
então a derivada é
f'(x)=-sin x
A fórmula geral do método de Newton é
xn+1=xn-f(xn)f'(xn) =xn-cos xn+1-sin xn =xn+cos xn+1sin xn
É esse recálculo que a gente repete.

Passo 3

Um detalhe importante: em temos e . Isso mostra que a raiz é de ordem 2 (raiz dupla). Quando a raiz é múltipla, o Newton não converge com ordem quadrática, mas sim quase linear—o erro vai sendo cortado pela metade a cada iteração.

Passo 4

Vamos lá, iterando até log2!l(tfrac0.0710^-7r)approx20 :
x20approx3.14159265,
( )
( )
( )

Como o erro cai pela metade a cada passo, precisamos de cerca de
iterações. No final fica
com .

Passo 5

Comparando com o valor real
, estamos de acordo até a sétima casa decimal. A convergência linear (fator ≈½) veio justamente porque a raiz era dupla.

Resposta

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