O valor de pode ser obtido através da resolução das seguintes equações:
Aplique o método de Newton com e com precisão em cada caso e compare os resultados obtidos. Justifique.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar o valor de π resolvendo
usando o método de Newton–Raphson, com chute inicial e parando quando . O conteúdo aqui é o método de Newton, e o que vamos precisar é:
Definir a função .
Calcular a derivada .
Aplicar a fórmula de iteração até atingir a precisão.
Um detalhe importante: em temos e . Isso mostra que a raiz é de ordem 2 (raiz dupla). Quando a raiz é múltipla, o Newton não converge com ordem quadrática, mas sim quase linear—o erro vai sendo cortado pela metade a cada iteração.
Passo 4
Vamos lá, iterando até log2!l(tfrac0.0710^-7r)approx20 : x20approx3.14159265, () () ()
…
Como o erro cai pela metade a cada passo, precisamos de cerca de
iterações. No final fica
com .
Passo 5
Comparando com o valor real , estamos de acordo até a sétima casa decimal. A convergência linear (fator ≈½) veio justamente porque a raiz era dupla.