Calcule a fatoração de Cholesky da matriz:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a fatoração de Cholesky para a matriz $ A $:
A fatoração de Cholesky é uma técnica usada em álgebra linear para decompor uma matriz simétrica e definida positiva em duas matrizes triangulares, uma inferior e sua transposta. Para resolver isso, vamos precisar seguir os passos da fatoração de Cholesky, calculando os elementos da matriz triangular inferior $ L $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a estrutura da matriz $ L $. Como $ L $ é uma matriz triangular inferior, ela terá a seguinte forma:
Nosso objetivo é determinar os valores de $ l_{11}, l_{21}, l_{22}, l_{31}, l_{32} $ e $ l_{33} $ de forma que $ A = LL^T $.
Passo 3
Vamos começar calculando o primeiro elemento $ l_{11} $. A equação correspondente é:
Então:
Passo 4
Agora, calculamos $ l_{21} $. A equação é:
Usando $ l_{11} = 3 $:
Passo 5
Em seguida, calculamos $ l_{31} $. A equação é:
Com $ l_{11} = 3 $:
Passo 6
Agora, calculamos $ l_{22} $. A equação é:
Sabendo que $ l_{21} = 2 $:
Passo 7
Calculamos $ l_{32} $. A equação é:
Substituindo $ l_{31} = 1 $ e $ l_{22} \approx 6.403 $:
Passo 8
Finalmente, calculamos $ l_{33} $. A equação é:
Substituindo $ l_{31} = 1 $ e $ l_{32} \approx 2.031 $:
Resposta
A fatoração de Cholesky da matriz $ A $ é: