Calcule a fatoração de Cholesky da matriz simétrica definida positiva:
A=[ccc 6 & 15 & 55 15 & 55 & 225 55 & 225 & 979 ]

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente achar a fatoração de Cholesky de uma matriz simétrica e definida positiva
A= 6 & 15 & 55 15 & 55 & 225 55 & 225 & 979
Isso faz parte do assunto “decomposição de matrizes” em Álgebra Linear. Para resolver, vamos usar a ideia básica de Cholesky: escrever
A = L,L^T
onde é triangular inferior com diagonais positivas. A técnica envolve calcular os elementos de um por um, usando raízes quadradas e subtrações de quadrados.

Passo 2

Primeiro, explicando a teoria: se
L = ell11 & 0 & 0 ell21 & ell22 & 0 ell31 & ell32 & ell33 ,
então impomos . Isso gera um sistema de equações:
  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. (mas a forma padrão dá ).
  6. .
    A gente resolve na ordem natural: diagonal, colunas abaixo, etc.

Passo 3

  1. Calcular ell11 = raiza11 = raiz6 :
ell21 = 15raiz6 = 5raiz62, ell31 = 55raiz6 = 55raiz66
  1. Calcular e usando
    e :

Passo 4

  1. Agora ell22 = raiz,a22 - ell21^2, = raiz,55 - l(15raiz6r)^2, = raiz,55 - 2256, = raiz1056 = raiz702 vem de
ell32 = ,a32 - ell31,ell21,ell22 = ,225 - 55raiz6cdot15raiz6,raiz70/2 = 175/2raiz70/2 = 5raiz702
  1. E de

Passo 5

  1. Por fim, ell33 = raiz,a33 - ell31^2 - ell32^2, = raiz,979 - (55)^26 - (5raiz70)^24, = raiz1123 = 4raiz213 sai de

Resposta

A fatoração de Cholesky L = raiz6 & 0 & 0[6pt] 5raiz62 & raiz702 & 0[8pt] 55raiz66 & 5raiz702 & 4raiz213 fica com

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