Determine L e U usando fatoração LU com pivoteamento para:
A=[lll 0 & 2 & 1 4 & 8 & 3 2 & 4 & 3 ]

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra fatorar a matriz
A= 0&2&1 4&8&3 2&4&3
usando LU com pivoteamento. Isso é conteúdo de eliminação de Gauss melhorada: a gente faz trocas de linha (pivoteamento) pra evitar dividir por zero ou número muito pequeno, coleta os multiplicadores numa matriz e no final fica . Vamos precisar de:
  • Entender como escolher pivô (máximo valor em módulo na coluna).
  • Saber que cada passo de eliminação dá um multiplicador .
  • Montar com esses multiplicadores e com o resultado da eliminação.

Passo 2

Primeira coluna: os valores em módulo são P= 0&1&0 1&0&0 0&0&1 . O maior é 4 (linha 2), mas nosso pivô tava na linha 1. Então trocamos linha 1↔2.
Permutation matrix
PA=underbrace 4&8&3 0&2&1 2&4&3 A^(1)
e
Agora o pivô em é .

Passo 3

Eliminação na coluna 1 abaixo do pivô:
  • linhai := linhai - mi1,linha1 .
  • linha2 ;fica;(0,2,1)-0cdot(4,8,3)=(0,2,1), linha3 ;fica;(2,4,3)-tfrac12(4,8,3)=(0,0,1.5) .
A gente armazena esses A^(2)= 4&8&3 0&2&1 0&0&1.5 na L e faz:
Então
A matriz vira

Passo 4

Segunda coluna: pivô é m32 = a^(2)32/a^(2)22 = 0/2 = 0 . Abaixo temos só zero, então não troca de linha e
Não muda nada em .

Passo 5

Agora nossas matrizes finais são
L = 1 & 0 & 0 m21 & 1 & 0 m31 & m32 & 1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 tfrac12 & 0 & 1 , U = 4 & 8 & 3 0 & 2 & 1 0 & 0 & 1.5

Resposta

L = 1&0&00&1&0tfrac12&0&1,
U = 4&8&30&2&10&0&1.5.

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