Calcule a fatoração L U da matriz:
A=[ccc 3 & -7 & -2 -3 & 5 & 1 6 & -4 & 0 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de fatoração LU da matriz A. A fatoração LU é um método para decompor uma matriz em duas matrizes: L, que é uma matriz triangular inferior, e U, uma matriz triangular superior. Para isso, vamos usar técnicas de eliminação para transformar a matriz A em U, enquanto construímos a matriz L ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A:
A = 3 & -7 & -2 -3 & 5 & 1 6 & -4 & 0
Queremos encontrar matrizes L e U tais que A = LU, onde:
  • L é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal.
  • U é uma matriz triangular superior.

Passo 3

Vamos começar construindo a matriz L com 1’s na diagonal e elementos desconhecidos abaixo dela:
L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1
E a matriz U inicialmente igual a A:
U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33

Passo 4

Para preencher L e U, começamos pelo primeiro elemento da primeira coluna. Já que u11 = 3, seguimos para eliminar os elementos abaixo na primeira coluna.
Calculamos l21 e l31 usando:
l21 = a21u11 = -33 = -1
l31 = a31u11 = 63 = 2
Agora, atualizamos a segunda e terceira linhas de U subtraindo l21 e l31 vezes a primeira linha de U:
Para a segunda linha:
u22 = 5 - (-1) times (-7) = 5 - 7 = -2
u23 = 1 - (-1) times (-2) = 1 - 2 = -1
Para a terceira linha:
u32 = -4 - 2 times (-7) = -4 + 14 = 10
u33 = 0 - 2 times (-2) = 0 + 4 = 4

Passo 5

Atualizando as matrizes L e U com os valores encontrados:
L = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 2 & l32 & 1 , U = 3 & -7 & -2 0 & -2 & -1 0 & 10 & 4
Agora, vamos encontrar l32. Usamos a equação:
l32 = u32u22 = 10-2 = -5

Passo 6

Substituindo l32 na matriz L, temos:
L = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 2 & -5 & 1 , U = 3 & -7 & -2 0 & -2 & -1 0 & 10 & 4

Passo 7

Verificando a última posição de U, já temos todos os valores preenchidos corretamente. Portanto, a fatoração LU está completa.

Resposta

A fatoração LU da matriz A é:
L = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 2 & -5 & 1 , U = 3 & -7 & -2 0 & -2 & -1 0 & 10 & 4

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