Beleza, vamos resolver esse exercício de fatoração LU da matriz A. A fatoração LU é um método para decompor uma matriz em duas matrizes: L, que é uma matriz triangular inferior, e U, uma matriz triangular superior. Para isso, vamos usar técnicas de eliminação para transformar a matriz A em U, enquanto construímos a matriz L ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz A:
A = 3 & -7 & -2 -3 & 5 & 1 6 & -4 & 0
Queremos encontrar matrizes L e U tais que A = LU, onde:
L é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal.
U é uma matriz triangular superior.
Passo 3
Vamos começar construindo a matriz L com 1’s na diagonal e elementos desconhecidos abaixo dela:
L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1
E a matriz U inicialmente igual a A:
U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33
Passo 4
Para preencher L e U, começamos pelo primeiro elemento da primeira coluna. Já que u11 = 3, seguimos para eliminar os elementos abaixo na primeira coluna.
Calculamos l21 e l31 usando:
l21 = a21u11 = -33 = -1
l31 = a31u11 = 63 = 2
Agora, atualizamos a segunda e terceira linhas de U subtraindo l21 e l31 vezes a primeira linha de U:
Para a segunda linha:
u22 = 5 - (-1) times (-7) = 5 - 7 = -2
u23 = 1 - (-1) times (-2) = 1 - 2 = -1
Para a terceira linha:
u32 = -4 - 2 times (-7) = -4 + 14 = 10
u33 = 0 - 2 times (-2) = 0 + 4 = 4
Passo 5
Atualizando as matrizes L e U com os valores encontrados: