Calcule a fatoração LU de A , se possível:

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra gente calcular a fatoração LU da matriz
A=1&1&12&1&-13&2&0
Isso faz parte da parte de eliminação de Gauss e fatoração matricial. Para resolver, a gente vai usar os pivôs da eliminação sem troca de linha e guardar os multiplicadores numa matriz (unitária na diagonal) pra obter , onde é triangular superior.

Passo 2

Teoria rápida (sem pular etapas):
  1. Queremos triangular inferior com 1’s na diagonal e triangular superior.
  2. Fazemos eliminação de Gauss em normalmente, anotando cada multiplicador usado pra zerar abaixo do pivô na posição .
  3. Esses viram os elementos de (abaixo da diagonal). O que sobra depois das eliminações vira .

Passo 3

Vamos eliminar passo a passo:
  1. Pivô 1 & 1 & 1 0 & -1 & -3 0 & -1 & -3 .
    • U= 1 & 1 & 1 0 & -1 & -3 0 & 0 & 0 .
      Subtrai 2 vezes a linha 1 da linha 2:
    • .
      Subtrai 3 vezes a linha 1 da linha 3:

      Matriz intermediária:
  2. Pivô .
    • .
      Subtrai 1 vez a linha 2 da linha 3:

      Agora tá formada:

Passo 4

Agora montamos L= 1 & 0 & 0 m21 & 1 & 0 m31 & m32 & 1 = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 1 & 1 com os multiplicadores que usamos (e 1’s na diagonal):
$$L=

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\
2 & 1 & 0\
3 & 1 & 1
\end{pmatrix}.$$

Resposta

A fatoração LU (sem pivotamento) existe e é
L = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 1 & 1 , U = 1 & 1 & 1 0 & -1 & -3 0 & 0 & 0 ,
pois .

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