ESCREVA OS 5 (CINCO) PRIMEIROS TERMOS NÄO NULOS DOS DESENVOL VIMENTOS EM SERIE DE MACLAURIN DAS FUNÇÕES ABAIXO E POR INDUÇÃO SIMPLES ESCREVA O TERMO GERAL. DE ORDEM n (n-ESIMO TERMO).
f(x)=(1+sen x)^12

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar a série de Maclaurin de
– os cinco primeiros termos não nulos – e depois, por indução, escrever o termo geral (o f(x) = (1 + sen x)^12-ésimo).
Conteúdo: série de Taylor–Maclaurin e Teorema binomial.
O que vamos precisar:
  1. A fórmula de Maclaurin (expansão em potências de ).
  2. A série de Maclaurin de .
  3. O Teorema Binomial para .

Passo 2

Primeiro, aplicamos o Teorema Binomial a :
Isso é só a soma de termos . Agora precisamos da série de Maclaurin de :

Passo 3

O próximo passo é substituir na soma e multiplicar séries, retendo só até obter cinco termos não nulos em potências de .
Vamos anotar alguns pedaços importantes:
  1. k = 0: .
  2. k = 1: .
  3. k = 2: .
  4. k = 3: .
  5. k = 4: .
Agora, somamos termo a termo, agrupando potências iguais de :
  • Constante ( ): só vem do , dá .
  • Coeficiente de : só vem de , é .
  • Coeficiente de : só vem de , é .
  • Coeficiente de : vem de
    com
    e de com .
    Total: .
  • Coeficiente de : vem de
    com
    e de com .
    Total: .

Passo 4

Juntando tudo, os cinco primeiros termos não nulos da série de Maclaurin são
f(x) = 1 ;+; 12,x ;+; 66,x^2 ;+; 218,x^3 ;+; 473,x^4 ;+;cdots

Passo 5

Pra escrever o termo geral por indução, basta lembrar da fórmula de Taylor em torno de zero:
termo de ordem n = f^(n)(0)n!;x^n
Ou seja, o Tn ;=; f^(n)(0)n!;x^n -ésimo termo da série de Maclaurin é
Podemos demonstrar por indução na derivada que essa fórmula vale pra todo .

Resposta

Os cinco primeiros termos não nulos são
boxed1 ;+; 12,x ;+; 66,x^2 ;+; 218,x^3 ;+; 473,x^4 + cdots
e o termo geral (n-ésimo) é
boxedTn = f^(n)(0)n!,x^n

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