ESCREVA OS 5 (CINCO) PRIMEIROS TERMOS NÄO NULOS DOS DESENVOL VIMENTOS EM SERIE DE MACLAURIN DAS FUNÇÕES ABAIXO E POR INDUÇÃO SIMPLES ESCREVA O TERMO GERAL. DE ORDEM n (n-ESIMO TERMO).
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente achar a série de Maclaurin de
– os cinco primeiros termos não nulos – e depois, por indução, escrever o termo geral (o
-ésimo).
Conteúdo: série de Taylor–Maclaurin e Teorema binomial.
O que vamos precisar:
Conteúdo: série de Taylor–Maclaurin e Teorema binomial.
O que vamos precisar:
- A fórmula de Maclaurin (expansão em potências de
). - A série de Maclaurin de .
- O Teorema Binomial para
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos o Teorema Binomial a :
Isso é só a soma de termos . Agora precisamos da série de Maclaurin de :
Passo 3
O próximo passo é substituir na soma e multiplicar séries, retendo só até obter cinco termos não nulos em potências de
.
Vamos anotar alguns pedaços importantes:
Vamos anotar alguns pedaços importantes:
- k = 0: .
- k = 1: .
- k = 2: .
- k = 3: .
- k = 4: .
Agora, somamos termo a termo, agrupando potências iguais de
:
- Constante (
): só vem do , dá . - Coeficiente de
: só vem de , é . - Coeficiente de
: só vem de , é . - Coeficiente de
: vem de
com
e decom .
Total:. - Coeficiente de
: vem de
com
e decom .
Total:.
Passo 4
Juntando tudo, os cinco primeiros termos não nulos da série de Maclaurin são
Passo 5
Pra escrever o termo geral por indução, basta lembrar da fórmula de Taylor em torno de zero:
Ou seja, o
-ésimo termo da série de Maclaurin é
Podemos demonstrar por indução na derivada que essa fórmula vale pra todo
.
Resposta
Os cinco primeiros termos não nulos são
e o termo geral (n-ésimo) é