Calcule
\frac{1}{1}\binom{n}{0}+\frac{1}{2}\binom{n}{1}+\ldots+\frac{1}{n+1}\binom{n}{n .}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
\frac{1}{1}\binom{n}{0}+\frac{1}{2}\binom{n}{1}+\ldots+\frac{1}{n+1}\binom{n}{n}.
Vou chamar essa soma de S. Assim, as informações relevantes são:
  • Temos um inteiro não-negativo \;n\;.
  • A soma é \;S=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1}\binom{n}{k}.
    A tarefa é encontrar uma expressão fechada (uma fórmula) para S em função de \;n\;.

Passo 2

Uma ideia muito útil é lembrar que, para todo inteiro k\ge0,
\int_{0}^{1} x^{k}\,dx = \frac{1}{k+1}.
Explicando isso passo a passo: a primitiva de x^{k} é \dfrac{x^{k+1}}{k+1}. Avaliando de 0 a 1 obtemos
\left.\frac{x^{k+1}}{k+1}\right|_{0}^{1}=\frac{1^{k+1}}{k+1}-\frac{0^{k+1}}{k+1}=\frac{1}{k+1}.
Portanto, cada coeficiente \dfrac{1}{k+1} da soma pode ser escrito como uma integral simples.

Passo 3

Substituindo \dfrac{1}{k+1}=\displaystyle\int_{0}^{1}x^{k}\,dx em S obtemos
S=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\int_{0}^{1}x^{k}\,dx.
Como a soma é finita, é licito trocar soma e integral; então
S=\int_{0}^{1}\left(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}\right)dx.
(Justificativa breve: trocar soma e integral quando a soma é finita não dá problema.)

Passo 4

A soma interna é exatamente a expansão binomial. Pelo Teorema do Binômio,
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}=(1+x)^{n}.
Um exemplo rápido para fixar: se n=2, \binom{2}{0}+\binom{2}{1}x+\binom{2}{2}x^{2}=1+2x+x^{2}=(1+x)^{2}.

Passo 5

Substituindo na integral,
S=\int_{0}^{1}(1+x)^{n}\,dx.
Agora calculamos essa integral. A primitiva de (1+x)^{n} é \dfrac{(1+x)^{n+1}}{n+1}. Avaliando de 0 a 1 resulta
S=\left.\frac{(1+x)^{n+1}}{n+1}\right|_{0}^{1}=\frac{(1+1)^{n+1}-(1+0)^{n+1}}{n+1}=\frac{2^{\,n+1}-1}{n+1}.
Pronto: essa é a expressão fechada procurada.

Passo 6

Para reforçar o entendimento, apresento uma segunda forma — puramente algébrica — que leva ao mesmo resultado. Use a identidade
\binom{n+1}{k+1}=\frac{n+1}{k+1}\binom{n}{k},
que vem da definição de binômio. Dessa identidade segue
\frac{1}{k+1}\binom{n}{k}=\frac{1}{n+1}\binom{n+1}{k+1}.
Somando de k=0 a k=n,
S=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k+1}.
Fazendo a mudança de índice j=k+1 obtemos
S=\frac{1}{n+1}\sum_{j=1}^{n+1}\binom{n+1}{j}=\frac{1}{n+1}\Bigg(\sum_{j=0}^{n+1}\binom{n+1}{j}-\binom{n+1}{0}\Bigg).
Como \displaystyle\sum_{j=0}^{n+1}\binom{n+1}{j}=2^{\,n+1} e \binom{n+1}{0}=1, segue
S=\frac{2^{\,n+1}-1}{n+1},
confirmando o resultado anterior.

Passo 7

Um exemplo numérico para checar: se \;n=2\; então
S=\frac{1}{1}\binom{2}{0}+\frac{1}{2}\binom{2}{1}+\frac{1}{3}\binom{2}{2} =1+\frac{1}{2}\cdot2+\frac{1}{3}\cdot1=1+1+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}.
A fórmula dá \dfrac{2^{3}-1}{3}=\dfrac{8-1}{3}=\dfrac{7}{3}, bate certinho.

Resposta

\frac{2^{\,n+1}-1}{n+1}

Exercícios relacionados