Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma
Vou chamar essa soma de
. Assim, as informações relevantes são:
- Temos um inteiro não-negativo
. - A soma é
A tarefa é encontrar uma expressão fechada (uma fórmula) paraem função de .
Passo 2
Uma ideia muito útil é lembrar que, para todo inteiro
,
Explicando isso passo a passo: a primitiva de
é
. Avaliando de
a
obtemos
Portanto, cada coeficiente
da soma pode ser escrito como uma integral simples.
Passo 3
Substituindo
em
obtemos
Como a soma é finita, é licito trocar soma e integral; então
(Justificativa breve: trocar soma e integral quando a soma é finita não dá problema.)
Passo 4
A soma interna é exatamente a expansão binomial. Pelo Teorema do Binômio,
Um exemplo rápido para fixar: se
,
.
Passo 5
Substituindo na integral,
Agora calculamos essa integral. A primitiva de
é
. Avaliando de
a
resulta
Pronto: essa é a expressão fechada procurada.
Passo 6
Para reforçar o entendimento, apresento uma segunda forma — puramente algébrica — que leva ao mesmo resultado. Use a identidade
que vem da definição de binômio. Dessa identidade segue
Somando de
a
,
Fazendo a mudança de índice
obtemos
Como
e
, segue
confirmando o resultado anterior.
Passo 7
Um exemplo numérico para checar: se
então
A fórmula dá
, bate certinho.