Calcule
\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\ldots+\binom{n}{n} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma dos coeficientes binomiais
\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\ldots+\binom{n}{n}.
Informações/condições que temos (assumidas como corretas):
  • n é um inteiro não-negativo (ou seja, n\in\{0,1,2,\dots\}).
  • Cada termo \binom{n}{k} é o coeficiente binomial correspondente às escolhas de k elementos entre n.
    Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Definição e significado de \binom{n}{k}.
  • Por definição combinatória,
\binom{n}{k}
é o número de maneiras distintas de escolher k objetos de um conjunto com n objetos, sem considerar a ordem.
  • Por fórmula, para 0\le k\le n,
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “ n fatorial”) é o produto n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Exemplo: 3!=6, 0!=1.
  • Interpretação prática: \binom{n}{0}=1 (escolher nada), \binom{n}{n}=1 (escolher tudo), e valores intermediários contam combinações de tamanho k.

Passo 3

Um exemplo concreto para sentir a soma.
  • Tome n=3. Os coeficientes são:
\binom{3}{0}=1,\quad \binom{3}{1}=3,\quad \binom{3}{2}=3,\quad \binom{3}{3}=1.
  • A soma é
1+3+3+1=8.
Isto já sugere que a soma pode ser uma potência de 2 (aqui 2^3=8). Vamos ver por que isso acontece em geral.

Passo 4

Enunciado do Teorema Binomial (a ferramenta principal).
  • O Teorema Binomial diz que, para qualquer inteiro n\ge0 e qualquer variável x,
(1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}.
Explicação didática: ao multiplicar (1+x) por si mesmo n vezes, em cada fator escolhe-se ou o termo 1 ou o termo x. Se, ao multiplicar todos os fatores, obtém-se exatamente k vezes o termo x (e n-k vezes o termo 1), o produto é x^k. O número de escolhas de quais k fatores contribuíram com x é exatamente \binom{n}{k}. Somando sobre todos os possíveis k obtemos a expansão acima.

Passo 5

Aplicação direta do Teorema Binomial para a soma pedida.
  • Coloque x=1 na identidade do Teorema Binomial. Assim,
(1+1)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}1^{k}.
  • Como 1^{k}=1 para todo k, o lado direito é exatamente a soma que queremos:
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}.
  • O lado esquerdo é (1+1)^n=2^n. Portanto a igualdade dá
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^{n}.

Passo 6

Prova combinatória alternativa (intuição útil para prova em prova ou explicação oral).
  • Considere um conjunto com n elementos. Para cada elemento há duas possibilidades: ele está presente ou não está presente em um subconjunto.
  • Pela regra do produto, o número total de subconjuntos é 2^n (duas escolhas independentes por elemento).
  • Contando de outra forma: o número de subconjuntos com exatamente k elementos é \binom{n}{k}. Somando sobre k=0,1,\dots,n obtemos o número total de subconjuntos:
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^{n}.
  • Essa contagem dupla (contar diretamente por escolhas binárias ou somando por tamanho) dá a mesma identidade — é uma ótima maneira de lembrar e justificar a fórmula rapidamente na prova.

Passo 7

Dicas finais para a prova (motivação e memorização).
  • Memorize a identidade \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^{n}. Ela é muito padrão: soma de linha de Pascal dá uma potência de 2.
  • Se precisar justificar rapidamente: use a substituição x=1 no Teorema Binomial, ou conte subconjuntos por dois modos como na prova combinatória.
  • Coragem — essa é daquelas identidades que caem direto se você lembrar a ideia do Teorema Binomial ou da contagem de subconjuntos. Vai dar certo!

Resposta

2^{n}

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