Calcule \iint_{B} f(x, y) d x d y sendo dados:
f(x, y)=y^{3} e^{x y^{2}} e B o retângulo 0 \leqslant x \leqslant 1,1 \leqslant y \leqslant 2.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=y^{3}e^{x y^{2}} e a região B que é o retângulo
0 \leqslant x \leqslant 1,\qquad 1 \leqslant y \leqslant 2.
O que se pede é calcular a integral dupla
\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função integranda é f(x,y)=y^{3}e^{x y^{2}}.
  • A região B tem limites constantes (retângulo), portanto os limites de integração são simples: x varia de 0 a 1 e y varia de 1 a 2.
  • Não há singularidades ou complicações no retângulo, a função é contínua ali.

Passo 2

Como B é um retângulo com limites constantes, pode-se usar a integração iterada (teorema de Fubini para integrais de funções contínuas em retângulos). Ou seja,
\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{y=1}^{2}\left(\int_{x=0}^{1} f(x,y)\,dx\right)dy.
Aqui a ideia é integrar primeiro em x tratando y como constante, porque a dependência em x aparece dentro do expoente como e^{x y^{2}}, o que torna a primitiva em x simples (é uma exponencial linear em x com parâmetro y^{2}). Explicando devagar:
  • Quando integramos em x com y fixo, y^{3} se comporta como constante multiplicativa.
  • A integral \int e^{a x}\,dx tem primitiva \frac{1}{a}e^{a x} quando a é constante. Aqui a=y^{2} (dependente de y, mas fixo durante a integração em x).

Passo 3

Calcule a integral interna em x:
\int_{x=0}^{1} y^{3}e^{x y^{2}}\,dx = y^{3}\int_{0}^{1} e^{x y^{2}}\,dx.
Fazer a substituição explícita para ver por que a primitiva é \frac{1}{y^{2}}e^{x y^{2}}. Seja u=x y^{2}. Então du = y^{2}dx, ou dx=\dfrac{du}{y^{2}}. Os limites em x são 0 a 1, então em u vão de 0 a y^{2}. Assim:
y^{3}\int_{0}^{1} e^{x y^{2}}\,dx = y^{3}\int_{u=0}^{u=y^{2}} e^{u}\frac{du}{y^{2}}.
Simplificando o fator fora da integral:
y^{3}\cdot\frac{1}{y^{2}} = y,
portanto
y^{3}\int_{0}^{1} e^{x y^{2}}\,dx = y\int_{0}^{y^{2}} e^{u}\,du.

Passo 4

Calcule a integral em u:
y\int_{0}^{y^{2}} e^{u}\,du = y\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{y^{2}} = y\bigl(e^{y^{2}}-1\bigr).
Logo a integral interna em x resulta em y\bigl(e^{y^{2}}-1\bigr). Substituindo na integral externa, temos agora uma integral simples em y:
\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{y=1}^{2} y\bigl(e^{y^{2}}-1\bigr)\,dy.

Passo 5

Separe a integral em duas partes:
\int_{1}^{2} y\bigl(e^{y^{2}}-1\bigr)\,dy = \int_{1}^{2} y e^{y^{2}}\,dy - \int_{1}^{2} y\,dy.
Vamos calcular cada uma.
Para \displaystyle \int_{1}^{2} y e^{y^{2}}\,dy, use a substituição v=y^{2}. Então dv=2y\,dy, ou y\,dy=\dfrac{dv}{2}. Os limites em y de 1 a 2 correspondem a v de 1 a 4. Assim:
\int_{1}^{2} y e^{y^{2}}\,dy = \int_{v=1}^{4} e^{v}\frac{dv}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{4} e^{v}\,dv.
A primitiva de e^{v} é e^{v}, então:
\int_{1}^{2} y e^{y^{2}}\,dy = \frac{1}{2}\bigl[e^{v}\bigr]_{1}^{4} = \frac{1}{2}\bigl(e^{4}-e\bigr).

Passo 6

Calcule a segunda integral \displaystyle \int_{1}^{2} y\,dy. A primitiva de y é \dfrac{1}{2}y^{2}. Portanto:
\int_{1}^{2} y\,dy = \left.\frac{1}{2}y^{2}\right|_{1}^{2} = \frac{1}{2}\bigl(2^{2}-1^{2}\bigr)=\frac{1}{2}(4-1)=\frac{3}{2}.

Passo 7

Combine os resultados das Passos 5 e 6:
\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy = \frac{1}{2}\bigl(e^{4}-e\bigr) - \frac{3}{2}.
Colocando em fator comum \dfrac{1}{2}:
\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy = \frac{1}{2}\bigl(e^{4}-e-3\bigr).
Como checagem rápida (apenas para ter confiança): e^{4}\approx 54{,}598, e\approx 2{,}718, então e^{4}-e-3\approx 48{,}88 e dividindo por 2 dá aproximadamente 24{,}44, um número positivo razoável.

Resposta

\dfrac{1}{2}\bigl(e^{4}-e-3\bigr)

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