Um engenheiro envolvido em uma construção precisa de 50 \mathrm{~m}^{3} de areia, 30 \mathrm{~m}^{3} de cascalho fino e 25 \mathrm{m}^{3} de cascalho grosso para terminar uma obra.
Existem três minas de onde esses materiais podem ser obtidos. A composição dessas minas é:
Areia \% Cascalho fino \% Cascalho grosso %
Mina 1 52 30 18
Mina 2 20 50 30
Mina 3 25 20 55
Interpretação: Se o engenheiro mandar retirar 10 \mathrm{~m}^{3} da Mina 1, ele estará obtendo 5,2 \mathrm{~m}^{3} de areia (52 \%, 3,0 \mathrm{~m}^{3}) de cascalho fino (30 \%) e 1,8 \mathrm{~m}^{3} de cascalho grosso (18 \%).
a) Obtenha a quantidade de metros cúbicos que o engenheiro terá que solicitar de cada mina para suprir a demanda dele.
b) Supondo que as minas não aceitam pedidos com \mathrm{m}^{3} incompletos (ex: 2.3 \mathrm{~m}^{3} ), mas apenas pedidos inteiros (ex: 2 ou 3 \mathrm{~m}^{3} ). Utilizando o programa desenvolvido, calcule a sobra de cada material obtido pelo engenheiro.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O engenheiro precisa de:
    • \,50\\ \mathrm{m}^3 de areia,
    • \,30\\ \mathrm{m}^3 de cascalho fino,
    • \,25\\ \mathrm{m}^3 de cascalho grosso.
  • A composição (percentual) das minas é (peguei estes números da tabela do enunciado):
    • Mina 1: 52\% areia, 30\% cascalho fino, 18\% cascalho grosso.
    • Mina 2: 20\% areia, 50\% cascalho fino, 30\% cascalho grosso.
    • Mina 3: 25\% areia, 20\% cascalho fino, 55\% cascalho grosso.
  • O enunciado pede:
    (a) Determinar quantos metros cúbicos pedir de cada mina (valores contínuos) para suprir exatamente a demanda.
    (b) Supondo que só são aceitos pedidos inteiros ( \mathrm{m}^3 inteiros), calcular a sobra de cada material obtido pelo engenheiro (isto é, quanto cada material excede a demanda), usando o “programa desenvolvido” — aqui vamos adotar a estratégia prática de escolher uma solução inteira que satisfaça todas as demandas e calcular as sobras resultantes.

Passo 2

Modelagem matemática (variáveis e sistema linear).
  • Defino as incógnitas:
    • [,x_1) = volume (em \mathrm{m}^3) pedido na Mina 1,
    • \,x_2 = volume pedido na Mina 2,
    • \,x_3 = volume pedido na Mina 3.
  • Cada material total é a soma das contribuições de cada mina. Transformando percentuais em frações (por ex. 52\% = 0{,}52), o sistema que assegura que os totais coincidam com a demanda é:
\begin{cases} 0{,}52x_1 + 0{,}20x_2 + 0{,}25x_3 = 50,\\[4pt] 0{,}30x_1 + 0{,}50x_2 + 0{,}20x_3 = 30,\\[4pt] 0{,}18x_1 + 0{,}30x_2 + 0{,}55x_3 = 25. \end{cases}
  • Para facilitar cálculos exatos, multiplico tudo por (100] (eliminando decimais):
    \begin{cases} 52x_1 + 20x_2 + 25x_3 = 5000,\\[4pt] 30x_1 + 50x_2 + 20x_3 = 3000,\\[4pt] 18x_1 + 30x_2 + 55x_3 = 2500. \end{cases}
Agora vamos resolver esse sistema por eliminação (Gauss), passo a passo.]

Passo 3

Eliminação para zerar a incógnita x_1 nas equações 2 e 3.
  • Faço combinações lineares inteiras para evitar arredondamentos:
    • \text{(Eq2)}\times 52 - \text{(Eq1)}\times 30 \Rightarrow
0\cdot x_1 + 2000x_2 + 290x_3 = 6000.
  • \text{(Eq3)}\times 52 - \text{(Eq1)}\times 18 \Rightarrow
0\cdot x_1 + 1200x_2 + 2410x_3 = 40000.
  • Para simplificar, divido as duas novas equações por 10:
\begin{cases} 200x_2 + 29x_3 = 600,\\[4pt] 120x_2 + 241x_3 = 4000. \end{cases}]

Passo 4

Eliminação para obter x_3.
  • Elimino x_2 entre as duas equações multiplicando a primeira por 3 e a segunda por 5 e subtraindo:
    • 5\cdot(120x_2 + 241x_3) - 3\cdot(200x_2 + 29x_3) dá:
0\cdot x_2 + 1118x_3 = 18200.
  • Portanto
x_3 = \dfrac{18200}{1118}.
  • Simplificando o quociente (dividindo por 2): x_3 = \dfrac{9100}{559}.

Passo 5

Voltar ao cálculo de x_2 e x_1 por substituição (cálculos exatos e decimais).
  • Usei a equação 200x_2 + 29x_3 = 600. Substituindo x_3=\dfrac{9100}{559}:
200x_2 = 600 - 29\cdot \dfrac{9100}{559} = \dfrac{71500}{559}.
Logo
x_2 = \dfrac{71500}{559\cdot 200} = \dfrac{715}{1118} = \dfrac{55}{86}.
  • Para x_1, uso a equação 30x_1 + 50x_2 + 20x_3 = 3000. Substituindo as frações e simplificando (cálculo exato mostrado abaixo) obtém-se:
x_1 = \dfrac{7575}{86}.
  • Valores decimais (aproximação suficiente para interpretação):
    • \,x_1 = \dfrac{7575}{86} \approx 88,081395\\ \mathrm{m}^3,
    • \,x_2 = \dfrac{55}{86} \approx 0,639535\\ \mathrm{m}^3,
    • \,x_3 = \dfrac{9100}{559} \approx 16,279427\\ \mathrm{m}^3.
  • Verificação rápida (substituir de volta nas equações) confirma que as somas chegam aos valores pedidos (com erro de arredondamento numérico próximo de zero).

Passo 6

Interpretação e resposta da parte (a).
  • Conclusão: pedindo exatamente \,x_1,x_2,x_3 acima obtém-se, teoricamente, exatamente os volumes requisitados de cada material. Esta é a solução exata contínua do problema.

Passo 7

Parte (b): consideração do requisito de pedidos inteiros e cálculo das sobras.
  • Como as minas aceitam apenas valores inteiros de \mathrm{m}^3, não é possível pedir as frações encontradas. Uma estratégia óbvia é arredondar para cima cada x_i (técnica do “ceiling”) para garantir que todas as demandas sejam atendidas. Outra estratégia é procurar combinações inteiras próximas que satisfazem todas as três desigualdades (contribuições \ge demandas) mas com menor sobra total. Fazendo uma busca local ao redor da solução contínua (testando combinações inteiras próximas), encontra-se uma solução inteira viável com volume total mínimo 106\\ \mathrm{m}^3: por exemplo
(x_1,x_2,x_3) = (88,\;1,\;17),
que satisfaz as três demandas.
  • Calculo das quantidades obtidas com esses pedidos inteiros (usei os percentuais fornecidos):
    • Mina 1 ( 88\\ \mathrm{m}^3) produz: \text{areia: }0{,}52\cdot 88 = 45{,}76,\quad \text{fino: }0{,}30\cdot 88 = 26{,}40,\quad \text{grosso: }0{,}18\cdot 88 = 15{,}84.
    • Mina 2 ( 1\\ \mathrm{m}^3) produz: \text{areia: }0{,}20\cdot 1 = 0{,}20,\quad \text{fino: }0{,}50\cdot 1 = 0{,}50,\quad \text{grosso: }0{,}30\cdot 1 = 0{,}30.
    • Mina 3 ( 17\\ \mathrm{m}^3) produz: \text{areia: }0{,}25\cdot 17 = 4{,}25,\quad \text{fino: }0{,}20\cdot 17 = 3{,}40,\quad \text{grosso: }0{,}55\cdot 17 = 9{,}35.
  • Somando as contribuições:
    • Areia total: 45{,}76 + 0{,}20 + 4{,}25 = 50{,}21\\ \mathrm{m}^3.
    • Cascalho fino total: 26{,}40 + 0{,}50 + 3{,}40 = 30{,}30\\ \mathrm{m}^3.
    • Cascalho grosso total: 15{,}84 + 0{,}30 + 9{,}35 = 25{,}49\\ \mathrm{m}^3.
  • Sobra (obtido menos demanda):
    • Sobra de areia: 50{,}21 - 50 = 0{,}21\\ \mathrm{m}^3.
    • Sobra de cascalho fino: 30{,}30 - 30 = 0{,}30\\ \mathrm{m}^3.
    • Sobra de cascalho grosso: 25{,}49 - 25 = 0{,}49\\ \mathrm{m}^3.
  • Observação prática: se em vez de buscar a combinação inteira minimizadora apenas se usasse o arredondamento para cima de cada variável ( \lceil x_1\rceil,\lceil x_2\rceil,\lceil x_3\rceil = (89,1,17)), as sobras seriam maiores. Por isso vale buscar combinações inteiras próximas que reduzam a sobra total; a combinação (88,1,17) é uma escolha inteira viável com sobra total pequena.

Resposta

(a) x_1=\dfrac{7575}{86}\\ \mathrm{m}^3\approx 88,081395\\ \mathrm{m}^3,\quad x_2=\dfrac{55}{86}\\ \mathrm{m}^3\approx 0,639535\\ \mathrm{m}^3,\quad x_3=\dfrac{9100}{559}\\ \mathrm{m}^3\approx 16,279427\\ \mathrm{m}^3.
(b) Com escolhas inteiras viáveis x_1=88,\\ x_2=1,\\ x_3=17 (uma solução inteira próxima que satisfaz todas as demandas) as sobras são:
  • Areia: 0{,}21\\ \mathrm{m}^3
  • Cascalho fino: 0{,}30\\ \mathrm{m}^3
  • Cascalho grosso: 0{,}49\\ \mathrm{m}^3

Exercícios relacionados