Determine o valor da expressão
E=\operatorname{sec} ^{4}\left(\frac{\pi}{7}\right)+\operatorname{sec} ^{4}\left(\frac{2 \pi}{7}\right)+\operatorname{sec} ^{4}\left(\frac{3 \pi}{7}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o número
E=\operatorname{sec}^{4}\!\left(\frac{\pi}{7}\right)+\operatorname{sec}^{4}\!\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\operatorname{sec}^{4}\!\left(\frac{3\pi}{7}\right).
Informações e o que precisamos obter:
  • Queremos a soma dos quartos poderes das secantes dos ângulos \dfrac{\pi}{7},\dfrac{2\pi}{7},\dfrac{3\pi}{7}.
  • Uma maneira prática é trabalhar com os cossenos desses ângulos, escrever \operatorname{sec}^4\theta = \dfrac{1}{\cos^4\theta} e transformar o problema em somas simétricas dos quadrados dos cossenos.

Passo 2

Fazer uma mudança de variável útil. Definimos, para facilitar as contas,
X_k = 2\cos\!\left(\frac{k\pi}{7}\right),\qquad k=1,3,5.
Note que os três valores X_1,X_2,X_3 (aqui X_1=2\cos(\pi/7), X_2=2\cos(3\pi/7), X_3=2\cos(5\pi/7)) são raízes de um polinômio cúbico de coeficientes inteiros. De fato (pode-se obter isso usando relações entre raízes da unidade ou o polinômio de Chebyshev), esses X_k satisfazem o polinômio
x^{3}-x^{2}-2x+1=0.
Do polinômio monico x^{3}-s_{1}x^{2}+s_{2}x-s_{3} lemos as somas simétricas dos X_k:
s_{1}=X_{1}+X_{2}+X_{3}=1,\qquad s_{2}=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3}=-2,\qquad s_{3}=X_{1}X_{2}X_{3}=-1.

Passo 3

Relacionar com os cossenos e as quantidades que queremos. Defina
y_{1}=\cos^{2}\!\left(\frac{\pi}{7}\right),\qquad y_{2}=\cos^{2}\!\left(\frac{2\pi}{7}\right),\qquad y_{3}=\cos^{2}\!\left(\frac{3\pi}{7}\right).
Observação importante: \cos\!\left(\frac{5\pi}{7}\right)=-\cos\!\left(\frac{2\pi}{7}\right), então os quadrados \cos^{2} correspondem aos três valores \bigl((X_k/2)^2\bigr) com k=1,2,3 escolhidos adequadamente. Em particular podemos tomar
y_{i}=\frac{X_{i}^{2}}{4},\qquad i=1,2,3,
onde os X_i são as raízes do cúbico do passo anterior (a ordem não importa para as somas simétricas).
O nosso objetivo original pode ser escrito em termos dos y_i como
E=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{y_i^{2}}.

Passo 4

Expressar \displaystyle\sum\frac{1}{y_i^{2}} em termos das somas simétricas de y_i. Sejam
e_{1}=y_{1}+y_{2}+y_{3},\qquad e_{2}=y_{1}y_{2}+y_{1}y_{3}+y_{2}y_{3},\qquad e_{3}=y_{1}y_{2}y_{3}.
Então
\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{y_i}=\frac{e_{2}}{e_{3}}, \qquad \sum_{i=1}^{3}\frac{1}{y_i^{2}}=\left(\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{y_i}\right)^{2}-2\sum_{i<j}\frac{1}{y_i y_j}.
Mas \sum_{i<j}\dfrac{1}{y_i y_j}=\dfrac{e_{1}}{e_{3}}. Portanto
\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{y_i^{2}}=\frac{e_{2}^{2}}{e_{3}^{2}}-2\frac{e_{1}}{e_{3}} =\frac{e_{2}^{2}-2e_{1}e_{3}}{e_{3}^{2}}.
Assim basta calcular e_{1},e_{2},e_{3} a partir dos X_i.

Passo 5

Calcular e_{1},e_{2},e_{3} em função de s_{1},s_{2},s_{3} (as somas dos X_i do passo 2). Lembrando y_i=X_i^{2}/4, temos
e_{1}=\frac{X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}}{4},\qquad e_{2}=\frac{X_{1}^{2}X_{2}^{2}+X_{1}^{2}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}^{2}}{16},\qquad e_{3}=\frac{X_{1}^{2}X_{2}^{2}X_{3}^{2}}{64}.
Agora calculamos as quantidades com as somas simétricas dos X_i:
X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}=s_{1}^{2}-2s_{2}.
Substituindo s_{1}=1 e s_{2}=-2 encontramos
X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}=1^{2}-2(-2)=1+4=5,
logo
e_{1}=\frac{5}{4}.
Para X_{1}^{2}X_{2}^{2}+X_{1}^{2}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}^{2} usamos a identidade
\bigl(X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3}\bigr)^{2} = X_{1}^{2}X_{2}^{2}+X_{1}^{2}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}^{2}+2X_{1}X_{2}X_{3}(X_{1}+X_{2}+X_{3}).
Isto é,
X_{1}^{2}X_{2}^{2}+X_{1}^{2}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}^{2} = s_{2}^{2}-2s_{1}s_{3}.
Substituindo s_{1}=1,\;s_{2}=-2,\;s_{3}=-1 obtemos
X_{1}^{2}X_{2}^{2}+X_{1}^{2}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}^{2}=(-2)^{2}-2\cdot1\cdot(-1)=4+2=6,
logo
e_{2}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}.
Finalmente
X_{1}^{2}X_{2}^{2}X_{3}^{2}=(X_{1}X_{2}X_{3})^{2}=s_{3}^{2}=(-1)^{2}=1,
portanto
e_{3}=\frac{1}{64}.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula do passo 4:
E=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{y_i^{2}}=\frac{e_{2}^{2}-2e_{1}e_{3}}{e_{3}^{2}}.
Substituindo e_{1}=\dfrac{5}{4}, e_{2}=\dfrac{3}{8}, e_{3}=\dfrac{1}{64} calculamos passo a passo:
Primeiro e_{2}^{2}=\left(\dfrac{3}{8}\right)^{2}=\dfrac{9}{64}=\dfrac{18}{128}.
Segundo 2e_{1}e_{3}=2\cdot\dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{1}{64}=\dfrac{5}{128}.
Logo o numerador é
e_{2}^{2}-2e_{1}e_{3}=\frac{18}{128}-\frac{5}{128}=\frac{13}{128}.
O denominador é
e_{3}^{2}=\left(\frac{1}{64}\right)^{2}=\frac{1}{4096}.
Portanto
E=\frac{\dfrac{13}{128}}{\dfrac{1}{4096}}=\frac{13}{128}\cdot 4096=13\cdot 32=416.

Resposta

416

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