Determine o valor da expressão
Passo 1
O enunciado pede para calcular o número
Informações e o que precisamos obter:
- Queremos a soma dos quartos poderes das secantes dos ângulos
. - Uma maneira prática é trabalhar com os cossenos desses ângulos, escrever
e transformar o problema em somas simétricas dos quadrados dos cossenos.
Passo 2
Fazer uma mudança de variável útil. Definimos, para facilitar as contas,
Note que os três valores
(aqui
,
,
) são raízes de um polinômio cúbico de coeficientes inteiros. De fato (pode-se obter isso usando relações entre raízes da unidade ou o polinômio de Chebyshev), esses
satisfazem o polinômio
Do polinômio monico
lemos as somas simétricas dos
:
Passo 3
Relacionar com os cossenos e as quantidades que queremos. Defina
Observação importante:
, então os quadrados
correspondem aos três valores
com
escolhidos adequadamente. Em particular podemos tomar
onde os
são as raízes do cúbico do passo anterior (a ordem não importa para as somas simétricas).
O nosso objetivo original pode ser escrito em termos dos
como
Passo 4
Expressar
em termos das somas simétricas de
. Sejam
Então
Mas
. Portanto
Assim basta calcular
a partir dos
.
Passo 5
Calcular
em função de
(as somas dos
do passo 2). Lembrando
, temos
Agora calculamos as quantidades com as somas simétricas dos
:
Substituindo
e
encontramos
logo
Para
usamos a identidade
Isto é,
Substituindo
obtemos
logo
Finalmente
portanto
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula do passo 4:
Substituindo
,
,
calculamos passo a passo:
Primeiro
.
Segundo
.
Logo o numerador é
O denominador é
Portanto