Calcule
utilizando a regra do trapézio repetida, subdividindo o intervalo [ 1,6 ] em 4 e 6 subintervalos e estime o erro. Compare os resultados obtidos.
Solução: Para
temos que
e
. Para
temos que
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule
usando a regra do trapézio repetida (composta) com
subintervalos e com
subintervalos, estime o erro em cada caso e compare os resultados obtidos. Informações relevantes que tenho:
Vou calcular aproximações
e
, estimar os limites superiores do erro pelo teorema do erro do trapézio composto e comparar com o valor exato da integral (para ver o erro real).
Passo 2
Primeiro encontro o valor exato da integral para termos referência. A primitiva de
é
Então
Em valor decimal isso é
Passo 3
Vou relembrar a fórmula do trapézio composto e a fórmula do erro (explicando o que cada coisa significa):
- Se dividimos
em subintervalos iguais, então é o passo. - A regra do trapézio composta dá
Aqui
são os valores da função nos nós interiores; a fórmula combina a área dos trapézios.
- O erro do trapézio composto satisfaz, para alguma constante
tal que em ,
Como
, isso também pode ser escrito
Vou precisar de
e do máximo de
em
.
Passo 4
Calculo
para obter o
. Temos
Em
a função
é decrescente, logo
atinge o máximo em
:
Passo 5
Para
:
Os nós são
Avalio
nesses pontos (quando possível escrevo frações exatas):
Passo 6
Aplico a fórmula do trapézio composto:
Substituindo numericamente (uso
):
Calculando passo a passo:
Agora a estimativa teórica do erro com
:
O erro real (diferença entre aproximado e exato) é
Passo 7
Para
:
Os nós são
Avalio
nesses pontos (frações exatas quando possível):
Passo 8
Aplico a fórmula:
Substituindo os valores:
Erro teórico com
:
Erro real:
Passo 9
- As aproximações obtidas são maiores que o valor exato
. Isso faz sentido porque em , ou seja, é convexa para cima e a regra do trapézio tende a sobreestimar integrais de funções convexas. - Observação sobre as estimativas de erro: os limites teóricos dados pela fórmula são muito conservadores aqui (
e ), bem maiores que o erro real. Isso é comum quando se usa o máximo global de em todo o intervalo; dá um limite seguro, mas geralmente frouxo.