Calcule
\int_{1}^{6} \frac{1}{x^{3}} d x
utilizando a regra do trapézio repetida, subdividindo o intervalo [ 1,6 ] em 4 e 6 subintervalos e estime o erro. Compare os resultados obtidos.
Solução: Para n=4 temos que \int_{1}^{6} \frac{1}{x^{3}} d x \approx 0.7784 e \left|E_{T}\right| \leq 7.8125. Para n=6 temos que \int_{1}^{6} \frac{1}{x^{3}} d x \approx 0.6334 \mathrm{e}\left|E_{T}\right| \leq 3.4722.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule
\int_{1}^{6}\frac{1}{x^{3}}\,dx
usando a regra do trapézio repetida (composta) com n=4 subintervalos e com n=6 subintervalos, estime o erro em cada caso e compare os resultados obtidos. Informações relevantes que tenho:
f(x)=\frac{1}{x^{3}},\qquad a=1,\qquad b=6.
Vou calcular aproximações T_{4} e T_{6}, estimar os limites superiores do erro pelo teorema do erro do trapézio composto e comparar com o valor exato da integral (para ver o erro real).

Passo 2

Primeiro encontro o valor exato da integral para termos referência. A primitiva de f(x)=x^{-3} é
\int x^{-3}\,dx = \int x^{-3}\,dx = -\frac{1}{2}x^{-2}+C = -\frac{1}{2x^{2}}+C.
Então
\int_{1}^{6}\frac{1}{x^{3}}\,dx = \left[-\frac{1}{2x^{2}}\right]_{1}^{6} = -\frac{1}{2\cdot 6^{2}} -\left(-\frac{1}{2\cdot 1^{2}}\right) = \frac{1}{2}-\frac{1}{72} = \frac{35}{72}.
Em valor decimal isso é
\frac{35}{72}\approx 0,4861111111.

Passo 3

Vou relembrar a fórmula do trapézio composto e a fórmula do erro (explicando o que cada coisa significa):
  • Se dividimos [a,b] em n subintervalos iguais, então h=\dfrac{b-a}{n} é o passo.
  • A regra do trapézio composta dá
T_{n}=\frac{h}{2}\Bigl(f(a)+f(b)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)\Bigr).
Aqui f(a+ih) são os valores da função nos nós interiores; a fórmula combina a área dos trapézios.
  • O erro do trapézio composto satisfaz, para alguma constante M tal que |f''(x)|\le M em [a,b],
|E_{T}|\le \frac{(b-a)h^{2}}{12}\,M.
Como h=(b-a)/n, isso também pode ser escrito
|E_{T}|\le \frac{(b-a)^{3}}{12\,n^{2}}\,M.
Vou precisar de f''(x) e do máximo de |f''(x)| em [1,6].

Passo 4

Calculo f''(x) para obter o M. Temos
f(x)=x^{-3},\quad f'(x)=-3x^{-4},\quad f''(x)=12x^{-5}.
Em [1,6] a função x^{-5} é decrescente, logo |f''(x)|=12x^{-5} atinge o máximo em x=1:
M=\max_{x\in[1,6]}|f''(x)|=12\cdot 1^{-5}=12.

Passo 5

Para n=4:
h=\frac{b-a}{n}=\frac{6-1}{4}=\frac{5}{4}=1{,}25.
Os nós são
x_{0}=1,\; x_{1}=1+1{,}25=2{,}25,\; x_{2}=3{,}5,\; x_{3}=4{,}75,\; x_{4}=6.
Avalio f(x)=1/x^{3} nesses pontos (quando possível escrevo frações exatas):
f(1)=1,\quad f(2{,}25)=\frac{64}{729}\approx 0{,}0877914952,
f(3{,}5)=\frac{8}{343}\approx 0{,}0233236152,\quad f(4{,}75)=\frac{64}{6859}\approx 0{,}0093308,
f(6)=\frac{1}{216}\approx 0{,}0046296296.

Passo 6

Aplico a fórmula do trapézio composto:
T_{4}=\frac{h}{2}\Bigl(f(1)+f(6)+2\bigl(f(2{,}25)+f(3{,}5)+f(4{,}75)\bigr)\Bigr).
Substituindo numericamente (uso h/2=5/8=0{,}625):
T_{4}=0{,}625\Bigl(1+0{,}0046296296+2(0{,}0877914952+0{,}0233236152+0{,}0093308)\Bigr).
Calculando passo a passo:
\text{soma interna} \approx 1{,}0046296296 + 2(0{,}1204459104) \approx 1{,}0046296296 + 0{,}2408918208 \approx 1{,}2455214504,
T_{4}\approx 0{,}625\cdot 1{,}2455214504 \approx 0{,}7784509065.
Agora a estimativa teórica do erro com M=12:
|E_{T}|\le \frac{(b-a)^{3}}{12\,n^{2}}\,M = \frac{5^{3}}{12\cdot 4^{2}}\cdot 12 = \frac{125}{16}=7{,}8125.
O erro real (diferença entre aproximado e exato) é
E_{\text{real}}=T_{4}-\frac{35}{72}\approx 0{,}7784509065-0{,}4861111111\approx 0{,}2923397954.

Passo 7

Para n=6:
h=\frac{5}{6}\approx 0{,}8333333333,\qquad \frac{h}{2}=\frac{5}{12}\approx 0{,}4166666667.
Os nós são
x_{0}=1,\; x_{1}=1+\frac{5}{6}=\frac{11}{6}\approx 1{,}8333333,\; x_{2}=\frac{8}{3}\approx 2{,}6666667,
x_{3}=3{,}5,\; x_{4}=\frac{13}{3}\approx 4{,}3333333,\; x_{5}=\frac{31}{6}\approx 5{,}1666667,\; x_{6}=6.
Avalio f nesses pontos (frações exatas quando possível):
f(1)=1,\quad f\!\bigl(\tfrac{11}{6}\bigr)=\left(\tfrac{6}{11}\right)^{3}=\frac{216}{1331}\approx 0{,}162372,
f\!\bigl(\tfrac{8}{3}\bigr)=\left(\tfrac{3}{8}\right)^{3}=\frac{27}{512}=0{,}052734375,
f(3{,}5)=\frac{8}{343}\approx 0{,}0233236152,\quad f\!\bigl(\tfrac{13}{3}\bigr)=\left(\tfrac{3}{13}\right)^{3}=\frac{27}{2197}\approx 0{,}0122850123,
f\!\bigl(\tfrac{31}{6}\bigr)=\left(\tfrac{6}{31}\right)^{3}=\frac{216}{29791}\approx 0{,}0072552,\quad f(6)=\frac{1}{216}\approx 0{,}0046296296.

Passo 8

Aplico a fórmula:
T_{6}=\frac{h}{2}\Bigl(f(1)+f(6)+2\sum_{i=1}^{5}f(x_{i})\Bigr) =\frac{5}{12}\Bigl(f(1)+f(6)+2(f(x_{1})+\cdots+f(x_{5}))\Bigr).
Substituindo os valores:
\text{soma interior} \approx 1{,}0046296296 + 2(0{,}162372+0{,}052734375+0{,}0233236152+0{,}0122850123+0{,}0072552)
\approx 1{,}0046296296 + 2(0{,}2579702025)\approx 1{,}0046296296 + 0{,}5159404050 \approx 1{,}5205700346,
T_{6}\approx \frac{5}{12}\cdot 1{,}5205700346 \approx 0{,}6335716836.
Erro teórico com M=12:
|E_{T}|\le \frac{5^{3}}{12\cdot 6^{2}}\cdot 12 = \frac{125}{36}\approx 3{,}472222\overline{2}.
Erro real:
E_{\text{real}}=T_{6}-\frac{35}{72}\approx 0{,}6335716836-0{,}4861111111\approx 0{,}1474605725.

Passo 9

  • As aproximações obtidas são maiores que o valor exato 35/72. Isso faz sentido porque f''(x)=12x^{-5}>0 em [1,6], ou seja, f é convexa para cima e a regra do trapézio tende a sobreestimar integrais de funções convexas.
  • Observação sobre as estimativas de erro: os limites teóricos dados pela fórmula são muito conservadores aqui ( 7{,}8125 e 3{,}47222\ldots), bem maiores que o erro real. Isso é comum quando se usa o máximo global de |f''| em todo o intervalo; dá um limite seguro, mas geralmente frouxo.

Resposta

\displaystyle \int_{1}^{6}\frac{1}{x^{3}}\,dx=\frac{35}{72}\approx 0,4861111111
\displaystyle T_{4}\approx 0,7784509065,\quad |E_{T}|\le \frac{125}{16}=7{,}8125,\quad E_{\text{real}}\approx 0,2923397954
\displaystyle T_{6}\approx 0,6335716836,\quad |E_{T}|\le \frac{125}{36}\approx 3{,}472222\overline{2},\quad E_{\text{real}}\approx 0,1474605725

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