Exercício 1:
Usando o Método dos Mínimos Quadrados encontre a curva de cada uma das formas abaixo para os seguintes dados:
1
2
3
5
1,2
0,9
3,1
6,1
Usando o Método dos Mínimos Quadrados encontre a curva de cada uma das formas abaixo para os seguintes dados:
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1 | 2 | 3 | 5 |
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1,2 | 0,9 | 3,1 | 6,1 |
Passo 1
O enunciado pede: encontrar, pelo Método dos Mínimos Quadrados, a curva da forma
que melhor se ajusta aos pontos fornecidos.
Dados fornecidos (peguei os valores da tabela enviada):
Dados fornecidos (peguei os valores da tabela enviada):
Pergunta explícita: determinar os parâmetros
e
da função
que minimizam os erros quadráticos entre os
observados e os
preditos.
Passo 2
Ideia do método (aula rápida): o modelo
é não linear em
, mas podemos linearizá‑lo tomando logaritmos naturais dos dois lados. Se fizermos isso obtemos uma regressão linear entre
e
:
Definimos as variáveis transformadas
e ajustamos o modelo linear
onde
. Para ajustar essa reta pelos mínimos quadrados usamos as fórmulas padrão da regressão linear:
e depois
Vou aplicar isso passo a passo com os dados.
Passo 3
Calcular as transformadas
e
(usei logaritmo natural). Montando a tabela:
(Usei aproximações decimais com várias casas para reduzir erro acumulado.)
Passo 4
Calcular somatórios necessários. Com os valores acima obtém‑se:
Também são úteis as médias:
Passo 5
Calcular o coeficiente angular
usando a fórmula da regressão linear:
Substituindo os números obtidos:
Logo
Explanação curta: esse
é a inclinação da reta que melhor ajusta
em termos de mínimos quadrados.]
Passo 6
Calcular
a partir de
. Substituindo:
Portanto
Interpretação:
é o fator multiplicativo da lei de potência.
Passo 7
Montando o modelo final (com valores arredondados a 4 casas significativas):
Comentário motivador: prontinho — transformamos um ajuste não linear em um ajuste linear via log, aplicamos fórmulas de regressão e voltamos à escala original exponenciando. Dá para usar essa curva para prever valores de
e para avaliar resíduos se quiseres checar o ajuste ponto a ponto.