Exercício 1:
Usando o Método dos Mínimos Quadrados encontre a curva de cada uma das formas abaixo para os seguintes dados:
x 1 2 3 5
y 1,2 0,9 3,1 6,1
y=a x^{b}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar, pelo Método dos Mínimos Quadrados, a curva da forma y=a x^{b} que melhor se ajusta aos pontos fornecidos.
Dados fornecidos (peguei os valores da tabela enviada):
\begin{array}{c|cccc} x & 1 & 2 & 3 & 5\\hline y & 1{,}2 & 0{,}9 & 3{,}1 & 6{,}1 \end{array}
Pergunta explícita: determinar os parâmetros a e b da função y=a x^{b} que minimizam os erros quadráticos entre os y observados e os y preditos.

Passo 2

Ideia do método (aula rápida): o modelo y=a x^{b} é não linear em a,b, mas podemos linearizá‑lo tomando logaritmos naturais dos dois lados. Se fizermos isso obtemos uma regressão linear entre \ln x e \ln y:
\ln y = \ln a + b\,\ln x.
Definimos as variáveis transformadas
X=\ln x,\qquad Y=\ln y,
e ajustamos o modelo linear
Y = A + b X,
onde A=\ln a. Para ajustar essa reta pelos mínimos quadrados usamos as fórmulas padrão da regressão linear:
b=\frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)}{\sum_{i=1}^{n} (X_i-\bar X)^2} \quad\text{ou equivalentemente}\quad b=\frac{n\sum X_iY_i - (\sum X_i)(\sum Y_i)}{n\sum X_i^2 - (\sum X_i)^2},
e depois
A=\bar Y - b\,\bar X,\qquad a=e^{A}.
Vou aplicar isso passo a passo com os dados.

Passo 3

Calcular as transformadas \;X_i=\ln x_i\; e \;Y_i=\ln y_i\; (usei logaritmo natural). Montando a tabela:
\begin{array}{c|cccc} i & 1 & 2 & 3 & 4\\hline x_i & 1 & 2 & 3 & 5\\\ y_i & 1{,}2 & 0{,}9 & 3{,}1 & 6{,}1\\hline X_i=\ln x_i & 0 & 0{,}6931471806 & 1{,}0986122887 & 1{,}6094379124\\\ Y_i=\ln y_i & 0{,}1823215568 & -0{,}1053605157 & 1{,}1314021115 & 1{,}8082887712 \end{array}
(Usei aproximações decimais com várias casas para reduzir erro acumulado.)

Passo 4

Calcular somatórios necessários. Com os valores acima obtém‑se:
\begin{aligned} n &= 4,\\[4pt] \sum X_i &= 0 + 0{,}6931471806 + 1{,}0986122887 + 1{,}6094379124 = 3{,}4011973817,\\[4pt] \sum Y_i &= 0{,}1823215568 -0{,}1053605157 +1{,}1314021115 +1{,}8082887712 = 3{,}0166519238,\\[4pt] \sum X_i^2 &= 0^2 + 0{,}6931471806^2 + 1{,}0986122887^2 + 1{,}6094379124^2 = 4{,}2776923688,\\[4pt] \sum X_iY_i &= 0\cdot0{,}1823215568 + 0{,}6931471806\cdot(-0{,}1053605157) \\\ &\qquad + 1{,}0986122887\cdot1{,}1314021115 + 1{,}6094379124\cdot1{,}8082887712 = 4{,}0802522872. \end{aligned}
Também são úteis as médias:
\bar X=\frac{\sum X_i}{n}=0{,}8502993454,\qquad \bar Y=\frac{\sum Y_i}{n}=0{,}75416298095.]

Passo 5

Calcular o coeficiente angular b usando a fórmula da regressão linear:
b=\frac{n\sum X_iY_i - (\sum X_i)(\sum Y_i)} {\,n\sum X_i^2 - (\sum X_i)^2\,}.
Substituindo os números obtidos:
\begin{aligned} \text{numerador} &= 4\cdot 4{,}0802522872 - 3{,}4011973817\cdot 3{,}0166519238 \approx 1{,}5151943121,\\[4pt] \text{denominador} &= 4\cdot 4{,}2776923688 - (3{,}4011973817)^2 \approx 1{,}3856564624. \end{aligned}
Logo
b \approx \frac{1{,}5151943121}{1{,}3856564624} \approx 1{,}093759.
Explanação curta: esse b é a inclinação da reta que melhor ajusta (X_i,Y_i) em termos de mínimos quadrados.]

Passo 6

Calcular A=\ln a a partir de A=\bar Y - b\,\bar X. Substituindo:
A \approx 0{,}75416298095 - 1{,}093759\cdot 0{,}8502993454 \approx -0{,}175761.
Portanto
a=e^{A}\approx e^{-0{,}175761}\approx 0{,}8389.
Interpretação: a é o fator multiplicativo da lei de potência.

Passo 7

Montando o modelo final (com valores arredondados a 4 casas significativas):
\boxed{y \approx 0{,}8389\;x^{1{,}0938}.}
Comentário motivador: prontinho — transformamos um ajuste não linear em um ajuste linear via log, aplicamos fórmulas de regressão e voltamos à escala original exponenciando. Dá para usar essa curva para prever valores de y e para avaliar resíduos se quiseres checar o ajuste ponto a ponto.

Resposta

y=0{,}8389\,x^{1{,}0938}

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