Exercício 1:
Usando o Método dos Mínimos Quadrados encontre a curva de cada uma das formas abaixo para os seguintes dados:
1
2
3
5
1,2
0,9
3,1
6,1
Usando o Método dos Mínimos Quadrados encontre a curva de cada uma das formas abaixo para os seguintes dados:
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1 | 2 | 3 | 5 |
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1,2 | 0,9 | 3,1 | 6,1 |
Passo 1
O enunciado pede: usando o Método dos Mínimos Quadrados, ajustar uma curva da forma
aos dados fornecidos. Os dados fornecidos são os quatro pares
:
O objetivo final é determinar os coeficientes
e
que fazem a função
ser a melhor aproximação (no sentido de mínimos quadrados) desses pontos.
Passo 2
Transformação para linearizar (por que e como):
- A função dada é racional:
. Uma ideia prática (muito usada) é inverter ambos os lados para obter uma relação linear entre e . - Invertendo temos
- Definimos a nova variável
. Então buscamos ajustar um modelo linear
aos pares
. Fazer mínimos quadrados em
significa minimizar a soma dos quadrados dos resíduos
.
- As equações normais (resultantes da minimização) para
pontos são:
- Resolvendo esse sistema linear por álgebra, obtemos as fórmulas diretas para
e :
Aqui
é o número de pontos,
é a soma das abscissas,
a soma dos
e assim por diante. Esses são resultados padrão da regressão linear simples.
Passo 3
Calcular os valores
para cada ponto (mostrando as contas):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Calcular as somas necessárias (mostrando a adição):
- Número de pontos:
. - Soma das
:
- Soma dos
(somando os valores calculados no passo anterior):
- Soma dos quadrados das abscissas:
- Soma dos produtos
(cada termo ):
Passo 5
Calcular o coeficiente
usando a fórmula (substituindo os valores numéricos):
Substituindo
,
,
,
,
:
Passo 6
Calcular o coeficiente
usando a fórmula:
Substituindo
,
,
,
:
Passo 7
Interpretar os coeficientes e voltar à variável original:
- Encontramos a reta aproximada para
:
- Voltando para
(invertendo ):
Isso é a curva ajustada pelo método dos mínimos quadrados na forma pedida.
Passo 8
(Verificação rápida — valores preditos): calcular
predito em cada
para sentir o ajuste:
-
: denominador (dados: ). -
: denominador (dados: ). -
: denominador (dados: ). -
: denominador (dados: ).
Esses valores mostram que o ajuste captura a tendência geral (mas note que há diferenças ponto a ponto, pois são poucos dados e o modelo é bem específico).