Exercício 1:
Usando o Método dos Mínimos Quadrados encontre a curva de cada uma das formas abaixo para os seguintes dados:
x 1 2 3 5
y 1,2 0,9 3,1 6,1
y=\frac{1}{a x+b}

Passo 1

O enunciado pede: usando o Método dos Mínimos Quadrados, ajustar uma curva da forma y=\dfrac{1}{a x+b} aos dados fornecidos. Os dados fornecidos são os quatro pares (x,y):
(1,\;1,2),\quad (2,\;0,9),\quad (3,\;3,1),\quad (5,\;6,1).
O objetivo final é determinar os coeficientes a e b que fazem a função
y=\frac{1}{a x + b}
ser a melhor aproximação (no sentido de mínimos quadrados) desses pontos.

Passo 2

Transformação para linearizar (por que e como):
  • A função dada é racional: y=\dfrac{1}{a x + b}. Uma ideia prática (muito usada) é inverter ambos os lados para obter uma relação linear entre x e 1/y.
  • Invertendo temos
\frac{1}{y}=a x + b.
  • Definimos a nova variável \displaystyle z=\frac{1}{y}. Então buscamos ajustar um modelo linear
z = a x + b,
aos pares (x,z). Fazer mínimos quadrados em z significa minimizar a soma dos quadrados dos resíduos \sum (z_i - (a x_i + b))^2.
  • As equações normais (resultantes da minimização) para n pontos são:
\sum_{i=1}^n z_i = a \sum_{i=1}^n x_i + n b
\sum_{i=1}^n x_i z_i = a \sum_{i=1}^n x_i^2 + b \sum_{i=1}^n x_i.
  • Resolvendo esse sistema linear por álgebra, obtemos as fórmulas diretas para a e b:
a = \frac{n\sum x_i z_i - (\sum x_i)(\sum z_i)}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}, \qquad b = \frac{\sum z_i - a\sum x_i}{n}.
Aqui n é o número de pontos, \sum x_i é a soma das abscissas, \sum z_i a soma dos z e assim por diante. Esses são resultados padrão da regressão linear simples.

Passo 3

Calcular os valores \;z_i=\dfrac{1}{y_i}\; para cada ponto (mostrando as contas):
  • Para x_1=1,\; y_1=1,2:
z_1=\frac{1}{1,2}=0,8333333\ldots
  • Para x_2=2,\; y_2=0,9:
z_2=\frac{1}{0,9}=1,1111111\ldots
  • Para x_3=3,\; y_3=3,1:
z_3=\frac{1}{3,1}\approx 0,3225806
  • Para x_4=5,\; y_4=6,1:
z_4=\frac{1}{6,1}\approx 0,1639344

Passo 4

Calcular as somas necessárias (mostrando a adição):
  • Número de pontos: n=4.
  • Soma das x_i:
\sum x_i = 1+2+3+5 = 11.
  • Soma dos z_i (somando os valores calculados no passo anterior):
\sum z_i = 0,8333333 + 1,1111111 + 0,3225806 + 0,1639344 \approx 2,4309594.
  • Soma dos quadrados das abscissas:
\sum x_i^2 = 1^2+2^2+3^2+5^2 = 1+4+9+25 = 39.
  • Soma dos produtos x_i z_i (cada termo x_i\cdot z_i):
\sum x_i z_i = 1\cdot0,8333333 + 2\cdot1,1111111 + 3\cdot0,3225806 + 5\cdot0,1639344
\phantom{\sum x_i z_i} \approx 0,8333333 + 2,2222222 + 0,9677418 + 0,8196720 \approx 4,8429693.

Passo 5

Calcular o coeficiente a usando a fórmula (substituindo os valores numéricos):
a = \frac{n\sum x_i z_i - (\sum x_i)(\sum z_i)}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}.
Substituindo n=4, \sum x_i z_i \approx 4,8429693, \sum x_i = 11, \sum z_i \approx 2,4309594, \sum x_i^2 = 39:
\text{numerador} = 4\cdot 4,8429693 - 11\cdot 2,4309594 \approx 19,3718772 - 26,7405534 = -7,3686762.
\text{denominador} = 4\cdot 39 - 11^2 = 156 - 121 = 35.
a \approx \frac{-7,3686762}{35} \approx -0,2105336.

Passo 6

Calcular o coeficiente b usando a fórmula:
b = \frac{\sum z_i - a\sum x_i}{n}.
Substituindo \sum z_i \approx 2,4309594, a\approx -0,2105336, \sum x_i = 11, n=4:
b \approx \frac{2,4309594 - (-0,2105336)\cdot 11}{4} = \frac{2,4309594 + 2,3158696}{4} = \frac{4,7468290}{4} \approx 1,1867073.

Passo 7

Interpretar os coeficientes e voltar à variável original:
  • Encontramos a reta aproximada para z=\dfrac{1}{y}:
z \approx -0,2105336\,x + 1,1867073.
  • Voltando para y (invertendo z=1/y):
y \approx \frac{1}{-0,2105336\,x + 1,1867073}.
Isso é a curva ajustada pelo método dos mínimos quadrados na forma pedida.

Passo 8

(Verificação rápida — valores preditos): calcular y predito em cada x para sentir o ajuste:
  • x=1: denominador = -0,2105336\cdot1 + 1,1867073 \approx 0,9761737 \Rightarrow y\approx 1,02445 (dados: 1,2).
  • x=2: denominador \approx 0,7656401 \Rightarrow y\approx 1,30598 (dados: 0,9).
  • x=3: denominador \approx 0,5551065 \Rightarrow y\approx 1,80173 (dados: 3,1).
  • x=5: denominador \approx 0,1340393 \Rightarrow y\approx 7,4625 (dados: 6,1).
    Esses valores mostram que o ajuste captura a tendência geral (mas note que há diferenças ponto a ponto, pois são poucos dados e o modelo é bem específico).

Resposta

y=\dfrac{1}{-0,2105336\,x + 1,1867073}

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