Calcule \int_{0}^{5}\left(2 x^{2}-3\right) d x pelos métodos a seguir e obtenha o erro de integração.
a) Regra do trapézio simples.
b) Regra do trapézio composta, com 3 segmentos.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular a integral definida
\int_{0}^{5}\left(2x^{2}-3\right)\,dx
pelos métodos indicados e obter o erro de integração. Informações dadas:
  • Função integrada: \,f(x)=2x^{2}-3.
  • Intervalo de integração: [0,5].
    As tarefas específicas são:
    a) usar a regra do trapézio simples (um único trapézio sobre [0,5]) e obter o erro;
    b) usar a regra do trapézio composta com 3 segmentos (ou seja, n=3 subintervalos iguais) e obter o erro.

Passo 2

Calcular o valor exato da integral (para podermos medir o erro). Vou lembrar como integrar polinômios: integrar termo a termo, usando a regra básica \int x^{p}\,dx = \dfrac{x^{p+1}}{p+1} (para p\neq-1). Aplicando ao integrando:
\int_{0}^{5}\left(2x^{2}-3\right)\,dx = \left[\dfrac{2}{3}x^{3}-3x\right]_{0}^{5}.
Agora avalio nos extremos:
\left.\dfrac{2}{3}x^{3}-3x\right|_{0}^{5} = \left(\dfrac{2}{3}\cdot 5^{3}-3\cdot 5\right)-0 = \dfrac{2}{3}\cdot 125 -15 = \dfrac{250}{3}-\dfrac{45}{3} = \dfrac{205}{3}.
Portanto o valor exato da integral é \dfrac{205}{3} (aproximadamente 68{,}333\ldots). Este será o referência para calcular os erros das aproximações.

Passo 3

Explicar e aplicar a regra do trapézio simples.
  • Fórmula da regra do trapézio simples sobre [a,b]: aproximamos a integral por
T = (b-a)\,\dfrac{f(a)+f(b)}{2}.
Isso vem da área do trapézio cuja base é (b-a) e alturas f(a) e f(b).
No nosso caso a=0, b=5, então b-a=5. Calculo f nas extremidades:
f(0)=2\cdot 0^{2}-3=-3, \qquad f(5)=2\cdot 5^{2}-3=2\cdot25-3=50-3=47.
Aplicando a fórmula:
T_{\text{simples}} = 5\cdot\dfrac{-3+47}{2} = 5\cdot\dfrac{44}{2} = 5\cdot 22 = 110.
Agora o erro: vou definir erro como a diferença \text{erro} = valor exato - valor aproximado (assim positivo significa que a aproximação ficou abaixo do exato). Então
\text{erro}_{\text{simples}} = \dfrac{205}{3} - 110 = \dfrac{205-330}{3} = -\dfrac{125}{3}.
O sinal negativo indica que a aproximação 110 superestimou o valor exato. O erro absoluto vale
\left|\text{erro}_{\text{simples}}\right| = \dfrac{125}{3}\approx 41{,}666\ldots
Complemento teórico (útil na prova): existe a fórmula do termo de erro para o trapézio (um único subintervalo), que diz que existe \xi\in(a,b) tal que
\int_{a}^{b} f(x)\,dx - T = -\dfrac{(b-a)^{3}}{12}\,f''(\xi).
Para funções com f'' contínua e, no nosso caso, f''(x)=4 (constante), podemos calcular explicitamente:
\int_{0}^{5} f(x)\,dx - T = -\dfrac{5^{3}}{12}\cdot 4 = -\dfrac{125}{12}\cdot 4 = -\dfrac{500}{12} = -\dfrac{125}{3},
o que coincide com o erro calculado acima.

Passo 4

Explicar e aplicar a regra do trapézio composta com n=3 segmentos.
  • Ideia: dividir [a,b] em n subintervalos iguais de largura h=(b-a)/n. A regra composta dá
T_{\text{comp}} = h\left(\dfrac{f(x_{0})+f(x_{n})}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_{i})\right),
onde x_{i}=a+i h.
No nosso caso a=0, b=5, n=3, logo
h=\dfrac{5-0}{3}=\dfrac{5}{3}.
Os nós são
x_{0}=0,\quad x_{1}=\dfrac{5}{3},\quad x_{2}=\dfrac{10}{3},\quad x_{3}=5.
Já calculamos f(x_{0})=f(0)=-3 e f(x_{3})=f(5)=47. Agora:
f\!\left(\dfrac{5}{3}\right)=2\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}-3 =2\cdot\dfrac{25}{9}-3 =\dfrac{50}{9}-\dfrac{27}{9} =\dfrac{23}{9}.
f\!\left(\dfrac{10}{3}\right)=2\left(\dfrac{10}{3}\right)^{2}-3 =2\cdot\dfrac{100}{9}-3 =\dfrac{200}{9}-\dfrac{27}{9} =\dfrac{173}{9}.
Agora aplico a fórmula composta:
T_{\text{comp}} = \dfrac{5}{3}\left(\dfrac{-3+47}{2} + \dfrac{23}{9} + \dfrac{173}{9}\right).
Calculo passo a passo os termos internos:
\dfrac{-3+47}{2} = \dfrac{44}{2}=22, \qquad \dfrac{23}{9}+\dfrac{173}{9}=\dfrac{196}{9}.
Somando:
22+\dfrac{196}{9}=\dfrac{198}{9}+\dfrac{196}{9}=\dfrac{394}{9}.
Multiplicando por h=\dfrac{5}{3}:
T_{\text{comp}} = \dfrac{5}{3}\cdot \dfrac{394}{9} = \dfrac{5\cdot 394}{27} = \dfrac{1970}{27}.
Em decimal, \dfrac{1970}{27}\approx 72{,}96296\ldots.
Erro (definido como valor exato menos aproximado):
\text{erro}_{\text{comp}} = \dfrac{205}{3} - \dfrac{1970}{27} = \dfrac{1845-1970}{27} = -\dfrac{125}{27}.
O sinal negativo indica novamente que a aproximação composta superestimou o exato. O erro absoluto é
\left|\text{erro}_{\text{comp}}\right| = \dfrac{125}{27}\approx 4{,}62963\ldots
Também há uma fórmula de erro para o trapézio composto: existe \xi\in(a,b) tal que
\int_{a}^{b} f(x)\,dx - T_{\text{comp}} = -\dfrac{(b-a)}{12}\,h^{2}\,f''(\xi).
Com f''(x)=4 e h=5/3 isso dá
\int_{0}^{5} f(x)\,dx - T_{\text{comp}} = -\dfrac{5}{12}\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}\cdot 4 = -\dfrac{125}{27},
coincidindo com o cálculo direto do erro.

Passo 5

Interpretação final e comparação rápida:
  • A regra do trapézio simples deu uma aproximação grosseira 110 com erro absoluto grande \dfrac{125}{3}.
  • A regra composta com 3 subintervalos melhorou bastante a aproximação, ficando em \dfrac{1970}{27} com erro absoluto \dfrac{125}{27}.
  • Como o integrando é uma parábola (grau 2) com segunda derivada constante, as fórmulas de erro fecham exatamente com os valores calculados.
Força aí — já tens o exato, as duas aproximações e os erros explícitos para decorar na prova! 😃

Resposta

a) T_{\text{simples}}=110,\quad \text{erro}=\dfrac{205}{3}-110=-\dfrac{125}{3} (erro absoluto \dfrac{125}{3}).
b) T_{\text{comp}}=\dfrac{1970}{27},\quad \text{erro}=\dfrac{205}{3}-\dfrac{1970}{27}=-\dfrac{125}{27} (erro absoluto \dfrac{125}{27}).

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