Calcule \int_{1}^{3}\left(4 x^{3}-3\right) d x pelos métodos a seguir e obtenha o erro de integração.
a) Regra 1 / 3 de Simpson.
b) Regra 3 / 8 de Simpson com três subintervalos.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral
\int_{1}^{3}\left(4x^{3}-3\right)\,dx
usando dois métodos numéricos e que se obtenha o erro de integração:
  • (a) Regra 1/3 de Simpson (aplicação única ou composta com n=2 subintervalos).
  • (b) Regra 3/8 de Simpson com três subintervalos ( n=3).
Informações dadas:
  • Função integranda: f(x)=4x^{3}-3.
  • Intervalo de integração: de x=1 até x=3.

Passo 2

Calcular a integral exata (para usar depois no cálculo do erro). A primitiva de f é
F(x)=\int\left(4x^{3}-3\right)\,dx = x^{4}-3x,
pois \dfrac{d}{dx}(x^{4}-3x)=4x^{3}-3.
Avaliaremos F em 1 e em 3:
F(3)=3^{4}-3\cdot3=81-9=72, \qquad F(1)=1^{4}-3\cdot1=1-3=-2.
Portanto o valor exato da integral é
\int_{1}^{3}\left(4x^{3}-3\right)\,dx = F(3)-F(1)=72-(-2)=74.

Passo 3

Explicação e aplicação da Regra 1/3 de Simpson.
Fórmula (aplicação única com dois subintervalos): se h=\dfrac{b-a}{2} e x_0=a, x_1=a+h, x_2=b, então
S_{1/3}=\frac{h}{3}\bigl(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\bigr).
Aqui a=1, b=3, então
h=\frac{3-1}{2}=1.
Nós temos os pontos:
x_0=1,\quad x_1=2,\quad x_2=3.
Calcule as imagens:
f(1)=4\cdot1^{3}-3=4-3=1,
f(2)=4\cdot2^{3}-3=4\cdot8-3=32-3=29,
f(3)=4\cdot3^{3}-3=4\cdot27-3=108-3=105.
Agora aplique a fórmula:
S_{1/3}=\frac{1}{3}\bigl(1+4\cdot29+105\bigr)=\frac{1}{3}\bigl(1+116+105\bigr)=\frac{222}{3}=74.
Comentário sobre erro: a regra de Simpson 1/3 tem erro proporcional à quarta derivada de f. Calcule as derivadas:
f'(x)=12x^{2},\quad f''(x)=24x,\quad f^{(3)}(x)=24,\quad f^{(4)}(x)=0.
Como f^{(4)}(x)=0 para toda x, o termo de erro que envolve f^{(4)} é nulo e, portanto, a regra fornece exatamente o valor da integral. Assim o erro é 0.

Passo 4

Explicação e aplicação da Regra 3/8 de Simpson com três subintervalos.
Fórmula (aplicação única sobre três subintervalos): se h=\dfrac{b-a}{3} e os pontos são x_0,x_1,x_2,x_3, então
S_{3/8}=\frac{3h}{8}\bigl(f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)\bigr).
Aqui
h=\frac{3-1}{3}=\frac{2}{3}.
Os pontos são:
x_0=1,\quad x_1=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3},\quad x_2=1+\frac{4}{3}=\frac{7}{3},\quad x_3=3.
Calcule f nos pontos fracionários (usar frações para exatidão):
f\!\left(\frac{5}{3}\right)=4\left(\frac{5}{3}\right)^{3}-3 =4\cdot\frac{125}{27}-3=\frac{500}{27}-\frac{81}{27}=\frac{419}{27},
f\!\left(\frac{7}{3}\right)=4\left(\frac{7}{3}\right)^{3}-3 =4\cdot\frac{343}{27}-3=\frac{1372}{27}-\frac{81}{27}=\frac{1291}{27},
já sabemos f(1)=1 e f(3)=105.
O coeficiente \dfrac{3h}{8} vale
\frac{3h}{8}=\frac{3\cdot(2/3)}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.
Agora calcule a soma dentro do parêntese:
f(1)+3f\!\left(\frac{5}{3}\right)+3f\!\left(\frac{7}{3}\right)+f(3) =1+3\cdot\frac{419}{27}+3\cdot\frac{1291}{27}+105.
Some 1+105=106=\dfrac{106\cdot27}{27}=\dfrac{2862}{27}. Então
\text{soma}=\frac{2862}{27}+\frac{1257}{27}+\frac{3873}{27}=\frac{2862+1257+3873}{27}=\frac{7992}{27}.
Portanto
S_{3/8}=\frac{1}{4}\cdot\frac{7992}{27}=\frac{7992}{108}=74.
Comentário sobre erro: novamente, porque f^{(4)}(x)=0, a regra 3/8 também integra exatamente polinômios de grau até 3, logo o erro é 0.

Passo 5

Resumo intuitivo: ambas as regras produzem o valor exato porque a função integranda é um polinômio de grau 3 e as fórmulas de Simpson (tanto 1/3 quanto 3/8) são exatas para polinômios de grau até 3 (o termo de erro envolve derivadas de ordem 4, que aqui anulam).

Resposta

a) Aproximação pela regra 1/3 de Simpson: \;74. Erro de integração: \;0.
b) Aproximação pela regra 3/8 de Simpson (três subintervalos): \;74. Erro de integração: \;0.

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