Calcule
pelos métodos a seguir e obtenha o erro de integração.
a) Regra
de Simpson.
b) Regra
de Simpson com três subintervalos.
a) Regra
b) Regra
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral
usando dois métodos numéricos e que se obtenha o erro de integração:
- (a) Regra
de Simpson (aplicação única ou composta com subintervalos). - (b) Regra
de Simpson com três subintervalos ( ).
Informações dadas:
- Função integranda:
. - Intervalo de integração: de
até .
Passo 2
Calcular a integral exata (para usar depois no cálculo do erro). A primitiva de
é
pois
.
Avaliaremos em
e em
:
Avaliaremos
Portanto o valor exato da integral é
Passo 3
Explicação e aplicação da Regra
de Simpson.
Fórmula (aplicação única com dois subintervalos): se
e
,
,
, então
Aqui
,
, então
Nós temos os pontos:
Calcule as imagens:
Agora aplique a fórmula:
Comentário sobre erro: a regra de Simpson
tem erro proporcional à quarta derivada de
. Calcule as derivadas:
Como
para toda
, o termo de erro que envolve
é nulo e, portanto, a regra fornece exatamente o valor da integral. Assim o erro é
.
Passo 4
Explicação e aplicação da Regra
de Simpson com três subintervalos.
Fórmula (aplicação única sobre três subintervalos): se
e os pontos são
, então
Aqui
Os pontos são:
Calcule
nos pontos fracionários (usar frações para exatidão):
já sabemos
e
.
O coeficiente
vale
Agora calcule a soma dentro do parêntese:
Some
. Então
Portanto
Comentário sobre erro: novamente, porque
, a regra
também integra exatamente polinômios de grau até
, logo o erro é
.
Passo 5
Resumo intuitivo: ambas as regras produzem o valor exato porque a função integranda é um polinômio de grau
e as fórmulas de Simpson (tanto
quanto
) são exatas para polinômios de grau até
(o termo de erro envolve derivadas de ordem
, que aqui anulam).
Resposta
a) Aproximação pela regra
de Simpson:
. Erro de integração:
.
b) Aproximação pela regra de Simpson (três subintervalos):
. Erro de integração:
.
b) Aproximação pela regra