otimização, usado para modelar a operação de um reator isotérmico com limitação cinética e restrição operacional de segurança. Sobre este problema, assinale a alternativa correta. *
\min _{x_{1}, x_{2}} f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}-3 x_{1} x_{2}-6 x_{1}
Sujeito às restrições:
\begin{gathered} g_{1}(x)=x_{1}+2 x_{2}-4 \leq 0 \\\ g_{2}(x)=-x_{1} \leq 0 \\\ g_{3}(x)=-x_{2} \leq 0 \end{gathered}
O ponto ótimo deve necessariamente ocorrer no interior da região factível, pois a função objetivo é estritamente convexa
O problema é convexo, e portanto qualquer ponto que satisfaça as condições KKT é ótimo global.
As restrições são lineares e convexas, mas o problema não é convexo porque a função objetivo não é convexa.
Se x 1=0 é um limite ativo, então a solução ótima é necessariamente dada pelo gradiente nulo da Lagrangiana considerando apenas g1.
Como o problema possui mais de uma restrição ativa possível, as condições KKT não podem ser anlinadas

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
  • Função objetivo:
f(x_1,x_2)=x_1^{2}+4x_2^{2}-3x_1x_2-6x_1.
  • Restrições (todas do tipo \le 0):
\begin{gathered} g_1(x)=x_1+2x_2-4\le 0,\\\ g_2(x)=-x_1\le 0,\\\ g_3(x)=-x_2\le 0. \end{gathered}
Isto significa a região factível é \{(x_1,x_2)\mid x_1\ge 0,\;x_2\ge 0,\;x_1+2x_2\le 4\}, um triângulo convexo.
  • O enunciado apresenta várias alternativas e pede que se assinale a alternativa correta sobre propriedades do problema (convexidade, KKT, onde ocorre o ótimo, etc.).

Passo 2

Verificar a convexidade da função objetivo — passo fundamental para decidir se o problema é convexo.
  • Calcular o gradiente e a Hessiana de f. O gradiente é
\nabla f(x)=\begin{pmatrix}2x_1-3x_2-6\\[4pt]8x_2-3x_1\end{pmatrix}.
  • A Hessiana é a matriz das segundas derivadas:
H=\nabla^{2}f=\begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]-3 & 8\end{pmatrix}.
  • Para saber se f é convexa, verificamos se H é semidefinida positiva. Como H é simétrica, checamos os menores principais:
    • H_{11}=2>0.
    • \det H = 2\cdot 8 - (-3)^{2}=16-9=7>0.
  • Como o primeiro menor principal é positivo e o determinante é positivo, H é definida positiva. Portanto f é estritamente convexa em todo \mathbb{R}^{2}.
Explicando de forma didática: uma função quadrática com Hessiana definida positiva é estritamente convexa — isto significa que tem um único mínimo global se não houver restrições; com restrições convexas, todo mínimo local é também mínimo global (há unicidade quando a função é estritamente convexa).]

Passo 3

Verificar as restrições.
  • Cada restrição é linear em (x_1,x_2). Restrições lineares definem conjuntos convexos (meia-espacos e interseção deles).
  • Logo a região factível — interseção dessas três restrições lineares — é um conjunto convexo (no caso um triângulo fechado).

Passo 4

Concluir sobre a natureza do problema e implicações para KKT.
  • Temos função objetivo estritamente convexa e conjunto factível convexo (linear). Portanto o problema é um problema de otimização convexo.
  • Em problemas convexos com restrições que satisfazem condições de regularidade (por exemplo a condição de Slater), as condições KKT são necessárias e suficientes: qualquer ponto que satisfaça as condições KKT é ótimo global.
  • Verificação de Slater: basta encontrar um ponto estritamente factível (todas as desigualdades estritamente satisfeitas). Por exemplo x=(1,1) g_1(1,1)=1+2-4=-1<0,\qquad g_2(1,1)=-1<0,\qquad g_3(1,1)=-1<0,logo Slater é satisfeito. Assim KKT são suficientes.
Didaticamente: Slater garante que não há “problema de fronteira degenerado” e que multiplicadores Lagrange existem e transformam as condições KKT em condição suficiente.

Passo 5

Analisar as alternativas fornecidas uma a uma usando o que demonstramos.
  1. “O ponto ótimo deve necessariamente ocorrer no interior da região factível, pois a função objetivo é estritamente convexa.” — falso. A estrita convexidade não obriga que o ótimo sujeito a restrições convexas esteja no interior; o mínimo pode ocorrer na fronteira (por exemplo quando o ponto crítico unconstrained é inviável). Portanto a afirmação é incorreta.
  2. “O problema é convexo, e portanto qualquer ponto que satisfaça as condições KKT é ótimo global.” — verdadeiro. Justificativa: já mostramos que f é estritamente convexa (Hessiana definida positiva) e as restrições são lineares (convexas). Slater é satisfeito, então KKT são necessárias e suficientes; qualquer ponto que satisfaz KKT é de fato ótimo global. Esta alternativa está correta.
  3. “As restrições são lineares e convexas, mas o problema não é convexo porque a função objetivo não é convexa.” — falso, contradiz a realidade: a função objetivo é convexa (na verdade estritamente convexa).
  4. “Se x_1=0 é um limite ativo, então a solução ótima é necessariamente dada pelo gradiente nulo da Lagrangiana considerando apenas g_1.” — falso/ilógico. Se x_1=0 for ativo, o multiplicador associado a g_2 (que é -x_1) possivelmente é não nulo; portanto ao formar a Lagrangiana deve-se incluir todas as restrições ativas (e considerar os multiplicadores correspondentes). A afirmação sugere ignorar a restrição que está ativa e considerar só g_1, o que não faz sentido. Além disso, não é “necessário” que x_1=0 seja ativo na solução ótima; depende dos dados.
  5. “Como o problema possui mais de uma restrição ativa possível, as condições KKT não podem ser anlinadas” — falso. O fato de haver múltiplas restrições que podem estar ativas em diferentes pontos não impede formular ou usar as condições KKT; na verdade KKT precisamente trata de situaçõess com múltiplas restrições ativas, com multiplicadores associados.

Passo 6

Para reforçar (e mostrar que a alternativa 2 é consistente), vamos achar o ponto ótimo do problema via KKT — passo prático e útil para provas.
  • Observação prática: o ponto crítico unconstrained (resolver \nabla f=0\)) é \[\begin{cases} 2x_1-3x_2-6=0,\\[4pt] 8x_2-3x_1=0, \end{cases}
    que dá x_2=\dfrac{18}{7}\], \(x_1=\dfrac{48}{7}. Esse ponto não satisfaz x_1+2x_2\le 4 (fica fora da região factível), portanto o ótimo constrained ficará na fronteira da região factível.
  • Como x_1>0 e x_2>0 no unconstrained, é plausível que na solução factível os dois limites x_1\ge0,\;x_2\ge0 não sejam ativos simultaneamente; a fronteira relevante será a reta x_1+2x_2=4. Vamos procurar o mínimo restringido a essa reta (ou usar KKT com apenas g_1 ativa).
  • Parametrizando a restrição ativa x_1=4-2x_2 com x_2\in[0,2] e substituindo em f, obtemos (passos algébricos):
    f(4-2x_2,x_2)=14x_2^{2}-16x_2-8.
    Essa é uma quadrática em x_2 com coeficiente positivo (14), então tem mínimo em
    x_2^{\star}=\frac{16}{2\cdot14}=\frac{4}{7}.
    Então
    x_1^{\star}=4-2\frac{4}{7}=\frac{20}{7}.
  • Valor ótimo:
    f\!\left(\frac{20}{7},\frac{4}{7}\right)=-\frac{616}{49}\approx -12{,}5714.
  • Verificação KKT (com apenas g_1 ativa): Lagrangiana L=f+\lambda(x_1+2x_2-4). As equações estacionárias dão um \lambda=2\ge0, e as condições de complementaridade e viabilidade são satisfeitas. Portanto o ponto \left(\dfrac{20}{7},\dfrac{4}{7}\right) é o ótimo global.
Didaticamente: esse cálculo ilustra que mesmo com função estritamente convexa, o ótimo pode ocorrer na fronteira; porém por ser problema convexo qualquer solução que satisfaça KKT — e é o caso aí — é ótimo global, confirmando a alternativa 2.]

Resposta

O problema é convexo, e portanto qualquer ponto que satisfaça as condições KKT é ótimo global.

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