otimização, usado para modelar a operação de um reator isotérmico com limitação cinética e restrição operacional de segurança. Sobre este problema, assinale a alternativa correta. *
Sujeito às restrições:
O ponto ótimo deve necessariamente ocorrer no interior da região factível, pois a função objetivo é estritamente convexa
O problema é convexo, e portanto qualquer ponto que satisfaça as condições KKT é ótimo global.
As restrições são lineares e convexas, mas o problema não é convexo porque a função objetivo não é convexa.
Se
é um limite ativo, então a solução ótima é necessariamente dada pelo gradiente nulo da Lagrangiana considerando apenas g1.
Como o problema possui mais de uma restrição ativa possível, as condições KKT não podem ser anlinadas
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
- Função objetivo:
- Restrições (todas do tipo
):
Isto significa a região factível é
, um triângulo convexo.
- O enunciado apresenta várias alternativas e pede que se assinale a alternativa correta sobre propriedades do problema (convexidade, KKT, onde ocorre o ótimo, etc.).
Passo 2
Verificar a convexidade da função objetivo — passo fundamental para decidir se o problema é convexo.
- Calcular o gradiente e a Hessiana de
. O gradiente é
- A Hessiana é a matriz das segundas derivadas:
- Para saber se
é convexa, verificamos se é semidefinida positiva. Como é simétrica, checamos os menores principais: -
. -
.
-
- Como o primeiro menor principal é positivo e o determinante é positivo,
é definida positiva. Portanto é estritamente convexa em todo .
Explicando de forma didática: uma função quadrática com Hessiana definida positiva é estritamente convexa — isto significa que tem um único mínimo global se não houver restrições; com restrições convexas, todo mínimo local é também mínimo global (há unicidade quando a função é estritamente convexa).]
Passo 3
Verificar as restrições.
- Cada restrição é linear em
. Restrições lineares definem conjuntos convexos (meia-espacos e interseção deles). - Logo a região factível — interseção dessas três restrições lineares — é um conjunto convexo (no caso um triângulo fechado).
Passo 4
Concluir sobre a natureza do problema e implicações para KKT.
- Temos função objetivo estritamente convexa e conjunto factível convexo (linear). Portanto o problema é um problema de otimização convexo.
- Em problemas convexos com restrições que satisfazem condições de regularidade (por exemplo a condição de Slater), as condições KKT são necessárias e suficientes: qualquer ponto que satisfaça as condições KKT é ótimo global.
- Verificação de Slater: basta encontrar um ponto estritamente factível (todas as desigualdades estritamente satisfeitas). Por exemplo
dá logo Slater é satisfeito. Assim KKT são suficientes.
Didaticamente: Slater garante que não há “problema de fronteira degenerado” e que multiplicadores Lagrange existem e transformam as condições KKT em condição suficiente.
Passo 5
Analisar as alternativas fornecidas uma a uma usando o que demonstramos.
-
“O ponto ótimo deve necessariamente ocorrer no interior da região factível, pois a função objetivo é estritamente convexa.” — falso. A estrita convexidade não obriga que o ótimo sujeito a restrições convexas esteja no interior; o mínimo pode ocorrer na fronteira (por exemplo quando o ponto crítico unconstrained é inviável). Portanto a afirmação é incorreta.
-
“O problema é convexo, e portanto qualquer ponto que satisfaça as condições KKT é ótimo global.” — verdadeiro. Justificativa: já mostramos que
é estritamente convexa (Hessiana definida positiva) e as restrições são lineares (convexas). Slater é satisfeito, então KKT são necessárias e suficientes; qualquer ponto que satisfaz KKT é de fato ótimo global. Esta alternativa está correta. -
“As restrições são lineares e convexas, mas o problema não é convexo porque a função objetivo não é convexa.” — falso, contradiz a realidade: a função objetivo é convexa (na verdade estritamente convexa).
-
“Se
é um limite ativo, então a solução ótima é necessariamente dada pelo gradiente nulo da Lagrangiana considerando apenas .” — falso/ilógico. Se for ativo, o multiplicador associado a (que é ) possivelmente é não nulo; portanto ao formar a Lagrangiana deve-se incluir todas as restrições ativas (e considerar os multiplicadores correspondentes). A afirmação sugere ignorar a restrição que está ativa e considerar só , o que não faz sentido. Além disso, não é “necessário” que seja ativo na solução ótima; depende dos dados. -
“Como o problema possui mais de uma restrição ativa possível, as condições KKT não podem ser anlinadas” — falso. O fato de haver múltiplas restrições que podem estar ativas em diferentes pontos não impede formular ou usar as condições KKT; na verdade KKT precisamente trata de situaçõess com múltiplas restrições ativas, com multiplicadores associados.
Passo 6
Para reforçar (e mostrar que a alternativa 2 é consistente), vamos achar o ponto ótimo do problema via KKT — passo prático e útil para provas.
-
Observação prática: o ponto crítico unconstrained (resolverque dá . Esse ponto não satisfaz
(fica fora da região factível), portanto o ótimo constrained ficará na fronteira da região factível. -
Como
e no unconstrained, é plausível que na solução factível os dois limites não sejam ativos simultaneamente; a fronteira relevante será a reta . Vamos procurar o mínimo restringido a essa reta (ou usar KKT com apenas ativa). -
Parametrizando a restrição ativa
com e substituindo em , obtemos (passos algébricos): Essa é uma quadrática emcom coeficiente positivo , então tem mínimo em Então -
Valor ótimo:
-
Verificação KKT (com apenas
ativa): Lagrangiana . As equações estacionárias dão um , e as condições de complementaridade e viabilidade são satisfeitas. Portanto o ponto é o ótimo global.
Didaticamente: esse cálculo ilustra que mesmo com função estritamente convexa, o ótimo pode ocorrer na fronteira; porém por ser problema convexo qualquer solução que satisfaça KKT — e é o caso aí — é ótimo global, confirmando a alternativa 2.]
Resposta
O problema é convexo, e portanto qualquer ponto que satisfaça as condições KKT é ótimo global.