Formular o problema de otimização não linear (PNL), indicando claramente a função objetivo, as restrições envolvidas e as variáveis de decisão.

Passo 1

Você pediu para formular um problema de otimização não linear (PNL), indicando de forma clara:
  • qual é a função objetivo;
  • quais são as restrições envolvidas;
  • quais são as variáveis de decisão.
    Não foram fornecidos dados numéricos ou um caso específico, então vou dar a formulação geral padrão (com explicações passo a passo) e exemplos concretos para você aprender como montar um PNL na prova.

Passo 2

Variáveis de decisão — o que são e como declarar.
  • Em otimização normalmente agrupamos todas as incógnitas num vetor. Denotamos isso por x.
  • Declare explicitamente: x = (x_1,x_2,\dots,x_n).
  • Escreva também o domínio natural das variáveis (por exemplo x\in\mathbb{R}^n para variáveis contínuas). Se houver limites simples, escreva-os como l\le x\le u, com l,u\in\mathbb{R}^n.
    Explicação didática: pense em x como o “controle” que você pode ajustar. Cada componente x_i é uma quantidade que escolhemos na prova — por exemplo, quantidades produzidas, ângulos, coordenadas, etc.

Passo 3

Função objetivo — o que é e como escrevê-la.
  • A função objetivo é uma função escalar que depende de x. Denotamos por f.
  • Escrevemos: f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} e queremos minimizar ou maximizar f(x).
  • Convenção útil: formular como minimização. Se o enunciado pede maximizar uma função F(x), transforme para minimizar f(x)=-F(x).
    Exemplos simples:
  • Minimizar custo quadrático: f(x)=x_1^2+x_2^2.
  • Maximizar lucro F(x)=2x_1+3x_2 vira minimizar f(x)=-2x_1-3x_2.
    Didática: na prova escreva claramente “minimizar” ou “maximizar” e a expressão de f(x). Sempre diga se f é diferenciável (importante para métodos que usam gradiente).

Passo 4

Tipos de restrições e como anotá-las.
  • Restrições de desigualdade não lineares: escreva g_i(x)\le 0, para i=1,\dots,m, com g_i:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}.
  • Restrições de igualdade não lineares: escreva h_j(x)=0, para j=1,\dots,p, com h_j:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}.
  • Restrições de limite (box): escreva l\le x\le u com vetores l,u.
  • Restrições lineares especiais (caso comum): A x \le b ou A_{eq} x = b_{eq}.
  • Observação: se alguma g_i ou h_j for não linear em x, isso é característico de PNL; se todas forem lineares, o problema é um PLI (linear).
    Exemplos didáticos:
  • Círculo unitário (desigualdade não linear): g(x)=x_1^2+x_2^2-1\le0.
  • Restrição de produto: g(x)=x_1 x_2 - 2\le0.
    Na prova, escreva cada restrição numa linha e indique o índice i ou j se houver várias.

Passo 5

Formulação canônica completa (coloque isso quando quiser apresentar o PNL).
\begin{aligned} \text{minimizar}\quad & f(x)\\[4pt] \text{sujeito a}\quad & g_i(x)\le 0,\quad i=1,\dots,m,\\[2pt] & h_j(x)=0,\quad j=1,\dots,p,\\[2pt] & x\in\mathcal{X}, \end{aligned}
onde:
  • x=(x_1,\dots,x_n) é o vetor de variáveis de decisão ( x\in\mathbb{R}^n salvo indicação contrária);
  • f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} é a função objetivo;
  • g_i:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} são as funções de desigualdade;
  • h_j:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} são as funções de igualdade;
  • \mathcal{X} é algum conjunto adicional (por exemplo \mathcal{X}=\{x\mid l\le x\le u\} ou \mathcal{X}=\mathbb{R}^n ou ainda \mathcal{X} com condições de inteiros caso haja variáveis discretas).
    Didática: ao escrever isso numa prova, sempre explique o papel de cada conjunto/função e declare o domínio de x.]

Passo 6

Exemplos concretos (para praticar montar um PNL na prova).
Exemplo A (convexo, fácil de entender):
\begin{aligned} \text{minimizar}\quad & f(x)=x_1^2+x_2^2\\[4pt] \text{sujeito a}\quad & h_1(x)=x_1+x_2-1=0,\\[2pt] & x_1\ge0,\;x_2\ge0. \end{aligned}
Aqui as variáveis de decisão são x_1,x_2\in\mathbb{R}. A restrição h_1 é uma igualdade linear; os limites são restrições de sinal.
Exemplo B (não linear na restrição):
\begin{aligned} \text{minimizar}\quad & f(x)=x_1+x_2\\[4pt] \text{sujeito a}\quad & g_1(x)=x_1^2+x_2^2-1\le0,\\[2pt] & x_1\ge0,\;x_2\ge0. \end{aligned}
Aqui a região factível é o quarto do disco unitário. Observe que a restrição é não linear, logo é PNL.]

Passo 7

Boas práticas e observações para formular (o que escrever na prova e o que olhar).
  • Declare explicitamente se é minimizar ou maximizar. Se maximizar, transformar com f(x)=-F(x) se quiser um formato único.
  • Deixe claro o tipo de cada restrição (igualdade/desigualdade/box/linear/não linear).
  • Escreva o domínio de x ( x\in\mathbb{R}^n ou com limites).
  • Se funções forem diferenciáveis, mencione isso ( f,g_i,h_j diferenciáveis) — útil se depois pedirem condições de otimalidade.
  • Se houver variáveis inteiras, indique que são inteiras (então o problema vira um MINLP).
  • Sempre examine se a região factível pode estar vazia (inviável). Na prova, se suspeitar de inviabilidade, comente isso ou verifique com um exemplo.
    Pequeno incentivo: na hora da prova, escrever a formulação correta (mesmo que não consiga resolver) já vale muitos pontos — foco em declarar tudo com clareza.

Passo 8

Resumo do que incluir na resposta da prova (checklist rápido para não esquecer nada).
  • Identificar e declarar as variáveis de decisão x=(x_1,\dots,x_n).
  • Escrever a função objetivo f(x) e indicar minimizar/maximizar.
  • Listar todas as restrições explicitamente com índice quando necessário.
  • Especificar domínios/limites e se há variáveis inteiras.
  • Se for um PNL, dizer quais funções são não lineares (por exemplo “ g_1(x)=x_1^2+x_2^2-1 — não linear”).
  • Opcional: indicar se f,g_i,h_j são diferenciáveis (importante para métodos analíticos).

Resposta

\begin{aligned} \text{minimizar}\quad & f(x)\\[4pt] \text{sujeito a}\quad & g_i(x)\le 0,\quad i=1,\dots,m,\\[2pt] & h_j(x)=0,\quad j=1,\dots,p,\\[2pt] & l\le x\le u,\quad x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n. \end{aligned}]

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