Formular o problema de otimização não linear (PNL), indicando claramente a função objetivo, as restrições envolvidas e as variáveis de decisão.
Passo 1
Você pediu para formular um problema de otimização não linear (PNL), indicando de forma clara:
- qual é a função objetivo;
- quais são as restrições envolvidas;
- quais são as variáveis de decisão.
Não foram fornecidos dados numéricos ou um caso específico, então vou dar a formulação geral padrão (com explicações passo a passo) e exemplos concretos para você aprender como montar um PNL na prova.
Passo 2
Variáveis de decisão — o que são e como declarar.
- Em otimização normalmente agrupamos todas as incógnitas num vetor. Denotamos isso por
. - Declare explicitamente:
. - Escreva também o domínio natural das variáveis (por exemplo
para variáveis contínuas). Se houver limites simples, escreva-os como , com .
Explicação didática: pense emcomo o “controle” que você pode ajustar. Cada componente é uma quantidade que escolhemos na prova — por exemplo, quantidades produzidas, ângulos, coordenadas, etc.
Passo 3
Função objetivo — o que é e como escrevê-la.
- A função objetivo é uma função escalar que depende de
. Denotamos por . - Escrevemos:
e queremos minimizar ou maximizar . - Convenção útil: formular como minimização. Se o enunciado pede maximizar uma função
, transforme para minimizar .
Exemplos simples: - Minimizar custo quadrático:
. - Maximizar lucro
vira minimizar .
Didática: na prova escreva claramente “minimizar” ou “maximizar” e a expressão de. Sempre diga se é diferenciável (importante para métodos que usam gradiente).
Passo 4
Tipos de restrições e como anotá-las.
- Restrições de desigualdade não lineares: escreva
, para , com . - Restrições de igualdade não lineares: escreva
, para , com . - Restrições de limite (box): escreva
com vetores . - Restrições lineares especiais (caso comum):
ou . - Observação: se alguma
ou for não linear em , isso é característico de PNL; se todas forem lineares, o problema é um PLI (linear).
Exemplos didáticos: - Círculo unitário (desigualdade não linear):
. - Restrição de produto:
.
Na prova, escreva cada restrição numa linha e indique o índiceou se houver várias.
Passo 5
Formulação canônica completa (coloque isso quando quiser apresentar o PNL).
onde:
-
é o vetor de variáveis de decisão ( salvo indicação contrária); -
é a função objetivo; -
são as funções de desigualdade; -
são as funções de igualdade; -
é algum conjunto adicional (por exemplo ou ou ainda com condições de inteiros caso haja variáveis discretas).
Didática: ao escrever isso numa prova, sempre explique o papel de cada conjunto/função e declare o domínio de.]
Passo 6
Exemplos concretos (para praticar montar um PNL na prova).
Exemplo A (convexo, fácil de entender):
Exemplo A (convexo, fácil de entender):
Aqui as variáveis de decisão são
. A restrição
é uma igualdade linear; os limites são restrições de sinal.
Exemplo B (não linear na restrição):
Aqui a região factível é o quarto do disco unitário. Observe que a restrição é não linear, logo é PNL.]
Passo 7
Boas práticas e observações para formular (o que escrever na prova e o que olhar).
- Declare explicitamente se é minimizar ou maximizar. Se maximizar, transformar com
se quiser um formato único. - Deixe claro o tipo de cada restrição (igualdade/desigualdade/box/linear/não linear).
- Escreva o domínio de
( ou com limites). - Se funções forem diferenciáveis, mencione isso (
diferenciáveis) — útil se depois pedirem condições de otimalidade. - Se houver variáveis inteiras, indique que são inteiras (então o problema vira um MINLP).
- Sempre examine se a região factível pode estar vazia (inviável). Na prova, se suspeitar de inviabilidade, comente isso ou verifique com um exemplo.
Pequeno incentivo: na hora da prova, escrever a formulação correta (mesmo que não consiga resolver) já vale muitos pontos — foco em declarar tudo com clareza.
Passo 8
Resumo do que incluir na resposta da prova (checklist rápido para não esquecer nada).
- Identificar e declarar as variáveis de decisão
. - Escrever a função objetivo
e indicar minimizar/maximizar. - Listar todas as restrições explicitamente com índice quando necessário.
- Especificar domínios/limites e se há variáveis inteiras.
- Se for um PNL, dizer quais funções são não lineares (por exemplo “
— não linear”). - Opcional: indicar se
são diferenciáveis (importante para métodos analíticos).