Calcule as integrais abaixo usando regra do trapézio tabelada em 9 pontos, 1 / 3 de Simpson tabelada em 9 pontos e do ponto médio tabelada em 8 pontos. Em caso de singularidade removível, complete com o limite da função. Use 5 casas decimais de precisão.
\int_{0}^{1 / 2} x^{2} \sqrt{1+x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{0}^{1/2} x^{2}\sqrt{1+x^{4}}\,dx
por três regras “tabeladas”: a regra do trapézio em 9 pontos, a regra de Simpson 1/3 em 9 pontos e a regra do ponto médio em 8 pontos.\n
Informações relevantes dadas:
\text{intervalo }[a,b]=\left[0,\tfrac{1}{2}\right],\quad \text{trapézio e Simpson: }9\text{ pontos}\Rightarrow 8\text{ subintervalos},é
\text{ponto médio: }8\text{ pontos}\Rightarrow 8\text{ subintervalos (8 midpoints)}.é
Não há singularidade na função em [0,1/2], logo não precisamos completar nada por limite.\n
A resolução numérica começa a seguir (vou mostrar o que é cada fórmula e calcular passo a passo).

Passo 2

Definimos o passo comum para as regras com 8 subintervalos:
h=\frac{b-a}{8}=\frac{1/2-0}{8}=\frac{1}{16}=0{,}0625.
Os pontos da malha uniformes (para trapézio e Simpson) são
x_i = a + i h = i\cdot 0{,}0625,\quad i=0,1,\dots,8,
ou seja:
x_0=0,\; x_1=0{,}0625,\; x_2=0{,}125,\; x_3=0{,}1875,\; x_4=0{,}25,
x_5=0{,}3125,\; x_6=0{,}375,\; x_7=0{,}4375,\; x_8=0{,}5.
A função a ser avaliada é
f(x)=x^{2}\sqrt{1+x^{4}}.

Passo 3

Vou calcular f(x_i) em cada nó (mostro resultados com várias casas para garantir precisão nas somas):
\begin{aligned} f(x_0)&=f(0)=0,\\[4pt] f(x_1)&=f(0{,}0625)\approx 0{,}003906279793,\\[4pt] f(x_2)&=f(0{,}125)\approx 0{,}01562690660159,\\[4pt] f(x_3)&=f(0{,}1875)\approx 0{,}035177968964,\\[4pt] f(x_4)&=f(0{,}25)\approx 0{,}06262195110321,\\[4pt] f(x_5)&=f(0{,}3125)\approx 0{,}09812070745705,\\[4pt] f(x_6]&=f(0{,}375)\approx 0{,}142008271026,\\[4pt] f(x_7]&=f(0{,}4375)\approx 0{,}194880940606,\\[4pt] f(x_8)&=f(0{,}5)\approx 0{,}2576941016011038. \end{aligned}
Observação rápida sobre esses números: calculei x^2, depois x^4, em seguida \sqrt{1+x^4} e finalmente multiplique por x^2; utilizei séries/sentenças numéricas para obter precisão suficiente para 5 casas decimais no resultado final.]

Passo 4

A regra composta do trapézio com n=8 subintervalos (9 pontos) é
T = h\left(\frac{f(x_0)+f(x_8)}{2}+\sum_{i=1}^{7} f(x_i)\right).
Calculo das somas (usando os f(x_i) do passo anterior):
\sum_{i=1}^{7} f(x_i)\approx 0{,}55234302555126,
\frac{f(x_0)+f(x_8)}{2}=\frac{0+0{,}2576941016011038}{2}\approx 0{,}1288470508005519.
Somando:
\frac{f(x_0)+f(x_8)}{2}+\sum_{i=1}^{7} f(x_i)\approx 0{,}6811900763518119.
Multiplicando por h=\tfrac{1}{16}:
T = h\cdot 0{,}6811900763518119 \approx 0{,}042574379772.
Arredondando para 5 casas decimais: T\approx 0{,}04257.

Passo 5

A regra composta de Simpson com n=8 (n par) é
S=\frac{h}{3}\Big(f(x_0)+f(x_8)+4\sum_{\substack{i=1\\\ i\;\text{ímpar}}}^{7} f(x_i)+2\sum_{\substack{i=2\\\ i\;\text{par}}}^{6} f(x_i)\Big).í
Calculo das somas ímpares e pares:
\sum_{\substack{i=1\\\ i\;\text{ímpar}}}^{7} f(x_i)=f_1+f_3+f_5+f_7\approx 0{,}33208589682005,í
\sum_{\substack{i=2\\\ i\;\text{par}}}^{6} f(x_i)=f_2+f_4+f_6\approx 0{,}22025712873121.
Substituindo:
\begin{aligned} \text{termo interno} &= f(x_0)+f(x_8)+4(0{,}33208589682005)+2(0{,}22025712873121)\\\ &\approx 0{,}2576941016011038+1{,}3283435872802+0{,}44051425746242\\\ &\approx 2{,}026551946343724. \end{aligned}
Como \dfrac{h}{3}=\dfrac{1/16}{3}=\dfrac{1}{48},
S=\frac{2{,}026551946343724}{48}\approx 0{,}04221983221549425.
Arredondando para 5 casas decimais: S\approx 0{,}04222.

Passo 6

Para a regra do ponto médio composta com 8 subintervalos usamos os 8 pontos médios
m_i = a + \left(i-\tfrac{1}{2}\right)h,\quad i=1,\dots,8,
ou seja:
m_1=0{,}03125,\; m_2=0{,}09375,\; m_3=0{,}15625,\; m_4=0{,}21875,
m_5=0{,}28125,\; m_6=0{,}34375,\; m_7=0{,}40625,\; m_8=0{,}46875.
A regra composta do ponto médio é
M = h\sum_{i=1}^{8} f(m_i).

Passo 7

Calculei f em cada ponto médio (valores aproximados com precisão suficiente):
\begin{aligned} f(m_1)&=f(0{,}03125)\approx 0{,}000976562966,\\[4pt] f(m_2)&=f(0{,}09375)\approx 0{,}008789401500,\\[4pt] f(m_3)&=f(0{,}15625)\approx 0{,}024421335772,\\[4pt] f(m_4)&=f(0{,}21875)\approx 0{,}047906318000,\\[4pt] f(m_5)&=f(0{,}28125)\approx 0{,}079348754883,\\[4pt] f(m_6)&=f(0{,}34375)\approx 0{,}118986786000,\\[4pt] f(m_7)&=f(0{,}40625)\approx 0{,}167271000000,\\[4pt] f(m_8)&=f(0{,}46875)\approx 0{,}224964600000. \end{aligned}
Somando:
\sum_{i=1}^{8} f(m_i)\approx 0{,}672664759121.
Multiplicando por h=\tfrac{1}{16}:
M=h\sum_{i} f(m_i)\approx \frac{0{,}672664759121}{16}\approx 0{,}0420415474450625.
Arredondando para 5 casas decimais: M\approx 0{,}04204.]

Passo 8

Os três valores são próximos, o que é esperado: Simpson costuma dar a melhor aproximação quando a função é suave (aqui, Simpson deu 0{,}04222). Trapézio e ponto médio ficam próximos por estarmos usando apenas 8 subintervalos, e todos os resultados concordam na ordem de 4{,}22\times 10^{-2}.

Resposta

Regra do trapézio (9 pontos): 0{,}04257\n
Regra de Simpson 1/3 (9 pontos): 0{,}04222\n
Regra do ponto médio (8 pontos): 0{,}04204

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