Calcule as integrais abaixo usando regra do trapézio tabelada em 9 pontos,
de Simpson tabelada em 9 pontos e do ponto médio tabelada em 8 pontos. Em caso de singularidade removível, complete com o limite da função. Use 5 casas decimais de precisão.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral
por três regras “tabeladas”: a regra do trapézio em 9 pontos, a regra de Simpson
em 9 pontos e a regra do ponto médio em 8 pontos.\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
Não há singularidade na função em
, logo não precisamos completar nada por limite.\n
A resolução numérica começa a seguir (vou mostrar o que é cada fórmula e calcular passo a passo).
A resolução numérica começa a seguir (vou mostrar o que é cada fórmula e calcular passo a passo).
Passo 2
Definimos o passo comum para as regras com
subintervalos:
Os pontos da malha uniformes (para trapézio e Simpson) são
ou seja:
A função a ser avaliada é
Passo 3
Vou calcular
em cada nó (mostro resultados com várias casas para garantir precisão nas somas):
Observação rápida sobre esses números: calculei
, depois
, em seguida
e finalmente multiplique por
; utilizei séries/sentenças numéricas para obter precisão suficiente para 5 casas decimais no resultado final.]
Passo 4
A regra composta do trapézio com
subintervalos (9 pontos) é
Calculo das somas (usando os
do passo anterior):
Somando:
Multiplicando por
:
Arredondando para 5 casas decimais:
.
Passo 5
A regra composta de Simpson com
(n par) é
Calculo das somas ímpares e pares:
Substituindo:
Como
,
Arredondando para 5 casas decimais:
.
Passo 6
Para a regra do ponto médio composta com 8 subintervalos usamos os 8 pontos médios
ou seja:
A regra composta do ponto médio é
Passo 7
Calculei
em cada ponto médio (valores aproximados com precisão suficiente):
Somando:
Multiplicando por
:
Arredondando para 5 casas decimais:
.]
Passo 8
Os três valores são próximos, o que é esperado: Simpson costuma dar a melhor aproximação quando a função é suave (aqui, Simpson deu
). Trapézio e ponto médio ficam próximos por estarmos usando apenas 8 subintervalos, e todos os resultados concordam na ordem de
.
Resposta
Regra do trapézio (9 pontos):
\n
Regra de Simpson (9 pontos):
\n
Regra do ponto médio (8 pontos):
Regra de Simpson
Regra do ponto médio (8 pontos):