Encontre o zero da função usando o método de Newton, a partir do ponto inicial
. Use
, como critério de parada
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o zero da função
usando o método de Newton, a partir do ponto inicial
, e usar como critério de parada
. Dados fornecidos:
O que precisamos fornecer: uma aproximação do valor
tal que
, obtida pelo método de Newton a partir de
e verificando
.
Passo 2
Apresentação do método de Newton (explicação didática).
O método de Newton gera uma sequência dada pela fórmula
O método de Newton gera uma sequência
Aqui
é a derivada de
. A ideia é: escolhemos um ponto inicial
e em cada passo aproximamos
por sua reta tangente em
e tomamos a interseção dessa reta com o eixo
como
. Quadraticidade: quando estamos perto da raiz verdadeira, o erro tende a diminuir muito rápido (aproximação quadrática), por isso em poucas iterações obtemos muita precisão. No nosso caso precisamos também computar o valor de
e de
em cada iteração e checar
.
Passo 3
Calcular a derivada e escrever a fórmula específica para nossa função.
Temos
Temos
e, derivando,
Substituindo na fórmula de Newton obtemos a iteração explícita
Uma forma alternativa, útil para cálculo, é simplificar a fração:
Mas, na prática, usaremos a forma direta
Passo 4
Primeira iteração (do
para
) — cálculo detalhado.
Calculemos e
com
. Note que
.
Calculemos
Aplicando Newton:
Portanto
Passo 5
Segunda iteração (do
para
) — cálculo com explicação.
Precisamos de e
.
Precisamos de
explicação: o logaritmo foi avaliado numericamente; se fizeres isto na calculadora verás esse valor negativo pequeno.
Aplicando Newton:
Observação didática: o sinal de
é negativo, então a correção é positiva e aproximamos para a direita, mais perto da raiz.
Passo 6
Terceira iteração (do
para
) — agora chegamos à alta precisão.
Calculemos e
(avaliações numéricas).
Calculemos
Aplicando Newton:
Comentário: a correção é da ordem de
, e devido à convergência quadrática o erro diminuiu muito rapidamente.
Passo 7
Verificação do critério de parada e conclusão.
Agora avaliamos :
Agora avaliamos
ou seja,
Portanto o critério de parada
com
já é satisfeito em
(depois de três iterações:
).