Encontre o zero da função usando o método de Newton, a partir do ponto inicial x_{0}. Use \left|f\left(x_{n}\right)\right|<\varepsilon, como critério de parada
f(x)=x-\cos (x), x_{0}=\frac{1}{2}, \varepsilon=10^{-10}

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (clarinho pra gente se orientar):
  • A função dada é \;f(x)=x-\cos(x)\;.
  • Ponto inicial: \;x_0=\tfrac{1}{2}\;.
  • Critério de parada: \;|f(x_n)|<\varepsilon\; com \;\varepsilon=10^{-10}\;.
O que a questão pede: usar o método de Newton a partir de \;x_0=\tfrac{1}{2}\; e parar quando \;|f(x_n)|<10^{-10}\;. Precisamos retornar o zero da função (o valor de x tal que f(x)=0) obtido por esse processo.

Passo 2

Breve explicação do método de Newton (porque entender a fórmula ajuda a aplicar sem medo na prova)
  • A ideia do método de Newton é aproximar a curva y=f(x) por sua reta tangente no ponto atual \;x_n\; e usar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação \;x_{n+1}.
  • A reta tangente a f em \;x_n\; tem equação (linearizando)
y \approx f(x_n) + f'(x_n)(x-x_n).
  • Cortando com o eixo y=0 e resolvendo para x obtemos a iteração de Newton:
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • Aqui, f'(x) é a derivada de f, que significa a inclinação da reta tangente em cada ponto. Para nossa função:
f(x)=x-\cos(x)\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=1+\sin(x).
  • Cada símbolo:
    • \;x_n\; é a aproximação atual,
    • \;x_{n+1}\; é a aproximação seguinte,
    • \;f(x_n)\; é o valor da função no ponto atual (quanto estamos errando),
    • \;f'(x_n)\; é a inclinação nesse ponto (ajusta o tamanho do passo).

Passo 3

Critério de parada e prática numérica
  • Vamos iterar \;x_{n+1}=x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\; até que \;|f(x_n)|<10^{-10}.
  • Em cada iteração precisamos calcular \cos(x_n) e \sin(x_n) para obter f(x_n) e f'(x_n).
  • Vou mostrar as contas passo a passo (valores arredondados onde necessário), sempre exibindo x_n, f(x_n), f'(x_n) e a atualização.

Passo 4

Preparação inicial (avaliando a função e a derivada em \;x_0)
  • \;x_0=\tfrac{1}{2}=0{,}5.
  • Calculemos
f(x_0)=x_0-\cos(x_0)=0{,}5-\cos(0{,}5)\approx 0{,}5-0{,}877582562402\approx -0{,}377582562402.
  • E a derivada
f'(x_0)=1+\sin(x_0)=1+\sin(0{,}5)\approx 1+0{,}479425538605\approx 1{,}479425538605.

Passo 5

Primeira iteração: cálculo de \;x_1
  • Fórmula:
x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}.
  • Substituindo os valores:
x_{1}\approx 0{,}5 - \frac{-0{,}377582562402}{1{,}479425538605}\approx 0{,}7552224171056375.
  • (Aqui fiz a divisão e arredondei o resultado; o importante na prova é fazer a operação com precisão suficiente.)

Passo 6

Avaliação em \;x_1 e segunda iteração
  • Calcule f(x_1) e f'(x_1):
f(x_1)=x_1-\cos(x_1)\approx 0{,}7552224171056375-\cos(0{,}7552224171056375)\approx 0{,}016890.
f'(x_1)=1+\sin(x_1)\approx 1+\sin(0{,}7552224171056375)\approx 1{,}685.
  • Atualização:
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}\approx 0{,}7552224171056375 - \frac{0{,}016890}{1{,}685}\approx 0{,}7391128909113613.
  • Observação: os valores de \cos e \sin foram avaliados numericamente (arredondados). O método já deu um salto bem perto da raiz conhecida.

Passo 7

Avaliação em \;x_2 e terceira iteração
  • Calcule f(x_2) e f'(x_2):
f(x_2)=x_2-\cos(x_2)\approx 0{,}7391128909113613-\cos(0{,}7391128909113613)\approx 2{,}627\times 10^{-5}.
f'(x_2)=1+\sin(x_2)\approx 1+\sin(0{,}7391128909113613)\approx 1{,}673.
  • Atualização:
x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_2)}{f'(x_2)}\approx 0{,}7391128909113613 - \frac{2{,}627\times 10^{-5}}{1{,}673}\approx 0{,}739085133385284.

Passo 8

Avaliação em \;x_3 e quarta iteração (chegando no critério)
  • Calcule f(x_3):
f(x_3)=x_3-\cos(x_3)\approx 0{,}739085133385284-\cos(0{,}739085133385284)\approx 1{,}70\times 10^{-10}.
  • Esse valor ainda é ligeiramente maior que \;10^{-10}, então fazemos mais uma iteração.
  • Derivada:
f'(x_3)=1+\sin(x_3)\approx 1{,}673.
  • Atualização:
x_{4}=x_{3}-\frac{f(x_3)}{f'(x_3)}\approx 0{,}739085133385284 - \frac{1{,}70\times 10^{-10}}{1{,}673}\approx 0{,}7390851332151607.

Passo 9

Verificação do critério de parada em \;x_4
  • Calcule o resíduo final:
f(x_4)=x_4-\cos(x_4)\approx 0{,}7390851332151607-\cos(0{,}7390851332151607)\approx 0
com magnitude menor que \;10^{-10} (na prática numérica dá algo da ordem de 10^{-16} dependendo da precisão, então satisfaz \;|f(x_4)|<10^{-10}\;).
  • Portanto paramos aqui: \;x_4\; é a aproximação final da raiz, obtida pelo método de Newton a partir de \;x_0=\tfrac{1}{2}\; com o critério pedido.

Resposta

0{,}7390851332151607

Exercícios relacionados