Encontre o zero da função usando o método de Newton, a partir do ponto inicial
. Use
, como critério de parada
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (clarinho pra gente se orientar):
- A função dada é
. - Ponto inicial:
. - Critério de parada:
com .
O que a questão pede: usar o método de Newton a partir de
e parar quando
. Precisamos retornar o zero da função (o valor de
tal que
) obtido por esse processo.
Passo 2
Breve explicação do método de Newton (porque entender a fórmula ajuda a aplicar sem medo na prova)
- A ideia do método de Newton é aproximar a curva
por sua reta tangente no ponto atual e usar a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação . - A reta tangente a
em tem equação (linearizando)
- Cortando com o eixo
e resolvendo para obtemos a iteração de Newton:
- Aqui,
é a derivada de , que significa a inclinação da reta tangente em cada ponto. Para nossa função:
- Cada símbolo:
-
é a aproximação atual, -
é a aproximação seguinte, -
é o valor da função no ponto atual (quanto estamos errando), -
é a inclinação nesse ponto (ajusta o tamanho do passo).
-
Passo 3
Critério de parada e prática numérica
- Vamos iterar
até que . - Em cada iteração precisamos calcular
e para obter e . - Vou mostrar as contas passo a passo (valores arredondados onde necessário), sempre exibindo
, , e a atualização.
Passo 4
Preparação inicial (avaliando a função e a derivada em
)
-
. - Calculemos
- E a derivada
Passo 5
Primeira iteração: cálculo de
- Fórmula:
- Substituindo os valores:
- (Aqui fiz a divisão e arredondei o resultado; o importante na prova é fazer a operação com precisão suficiente.)
Passo 6
Avaliação em
e segunda iteração
- Calcule
e :
- Atualização:
- Observação: os valores de
e foram avaliados numericamente (arredondados). O método já deu um salto bem perto da raiz conhecida.
Passo 7
Avaliação em
e terceira iteração
- Calcule
e :
- Atualização:
Passo 8
Avaliação em
e quarta iteração (chegando no critério)
- Calcule
:
- Esse valor ainda é ligeiramente maior que
, então fazemos mais uma iteração. - Derivada:
- Atualização:
Passo 9
Verificação do critério de parada em
- Calcule o resíduo final:
com magnitude menor que
(na prática numérica dá algo da ordem de
dependendo da precisão, então satisfaz
).
- Portanto paramos aqui:
é a aproximação final da raiz, obtida pelo método de Newton a partir de com o critério pedido.
Resposta
0{,}7390851332151607