Calcule as integrais abaixo usando regra do trapézio tabelada em 9 pontos, 1 / 3 de Simpson tabelada em 9 pontos e do ponto médio tabelada em 8 pontos. Em caso de singularidade removível, complete com o limite da função. Use 5 casas decimais de precisão.
\int_{1}^{2} x e^{-x^{3}} d x

Passo 1

O problema pede que eu calcule a integral
\int_{1}^{2} x e^{-x^{3}}\,dx
usando três regras numéricas específicas:
  • Regra do trapézio tabelada em 9 pontos (ou seja, 8 subintervalos).
  • Regra de 1/3 de Simpson tabelada em 9 pontos (ou seja, 8 subintervalos, n par).
  • Regra do ponto médio tabelada em 8 pontos (ou seja, 8 subintervalos e 8 pontos-médio).
Informações dadas e condições:
\text{intervalo }[a,b]=[1,2],\quad \text{número de subintervalos }n=8,\quad \text{precisão final: 5 casas decimais.}úã

Passo 2

Calculo do passo h e dos nós uniformes (para trapézio e Simpson):
h=\frac{b-a}{n}=\frac{2-1}{8}=\frac{1}{8}=0{,}125.
Os nós x_i para i=0,\dots,8 são
x_i = 1 + i\cdot 0{,}125,
ou explicitamente:
\begin{array}{l} x_0=1{,}00000,\; x_1=1{,}12500,\; x_2=1{,}25000,\; x_3=1{,}37500,\\\ x_4=1{,}50000,\; x_5=1{,}62500,\; x_6=1{,}75000,\; x_7=1{,}87500,\; x_8=2{,}00000. \end{array}

Passo 3

Avaliação da função \displaystyle f(x)=x e^{-x^{3}} nos nós x_i.
Para cada x_i calculei x_i^{3}, depois e^{-x_i^{3}} e finalmente f(x_i)=x_i e^{-x_i^{3}}. Os valores (aproximações suficientes para a regra) são:
\begin{array}{ll} x_0=1{,}00000,& f(x_0)=0{,}3678794412,\\[4pt] x_1=1{,}12500,& f(x_1)\approx 0{,}2708348050,\\[4pt] x_2=1{,}25000,& f(x_2)\approx 0{,}1772556575,\\[4pt] x_3=1{,}37500,& f(x_3)\approx 0{,}1020826318,\\[4pt] x_4=1{,}50000,& f(x_4)\approx 0{,}0513390051,\\[4pt] x_5=1{,}62500,& f(x_5)\approx 0{,}0222637118,\\[4pt] x_6=1{,}75000,& f(x_6)\approx 0{,}0082296539,\\[4pt] x_7=1{,}87500,& f(x_7)\approx 0{,}0025711384,\\[4pt] x_8=2{,}00000,& f(x_8)=0{,}0006709253. \end{array}
(Notas didáticas rápidas: para obter cada valor eu calculei x^3, usei e^{-x^3} e multipliquei por x. Estas aproximações foram obtidas mantendo mais casas para reduzir erro de arredondamento nas regras compostas.)]

Passo 4

Regra do trapézio composta (tabelada em 9 pontos, n=8):
Fórmula
T_n = h\left(\frac{f(x_0)+f(x_n)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\right).
Aplicando com os valores acima:
\sum_{i=1}^{7} f(x_i)\approx 0{,}6345774134,
\frac{f(x_0)+f(x_8)}{2}=\frac{0{,}3678794412+0{,}0006709253}{2}\approx 0{,}1842751833.
Portanto
T_8 = 0{,}125\cdot\bigl(0{,}1842751833 + 0{,}6345774134\bigr) =0{,}125\cdot 0{,}8188525967 \approx 0{,}1023565746.

Passo 5

Regra de 1/3 de Simpson composta (tabelada em 9 pontos, n=8, n par):
Fórmula
S_n = \frac{h}{3}\left(f(x_0)+f(x_n)+4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{n-1} f(x_i) + 2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{n-2} f(x_i)\right).í
Calculei as somas:
\sum_{i\in\{1,3,5,7\}} f(x_i)\approx 0{,}3977526732,
\sum_{i\in\{2,4,6\}} f(x_i)\approx 0{,}2368253172.
Logo
S_8 = \frac{0{,}125}{3}\Bigl(0{,}3678794412+0{,}0006709253 + 4\cdot 0{,}3977526732 + 2\cdot 0{,}2368253172\Bigr).
O interior dá aproximadamente 2{,}4332114565 e
S_8 \approx 0{,}04166666667\cdot 2{,}4332114565 \approx 0{,}1013838115.

Passo 6

Regra do ponto médio composta com 8 pontos (cada subintervalo tem um ponto-médio).
Os pontos médios m_j dos 8 subintervalos são
m_j = 1 + \left(j-\tfrac{1}{2}\right)h,\quad j=1,\dots,8,
ou explicitamente:
1{,}06250,\;1{,}18750,\;1{,}31250,\;1{,}43750,\;1{,}56250,\;1{,}68750,\;1{,}81250,\;1{,}93750.
Avaliei f nesses pontos (mesma ideia: x e^{-x^3}) e obtive aproximadamente:
\begin{array}{l} f(1{,}06250)\approx 0{,}3196731799,\\\ f(1{,}18750)\approx 0{,}2223031383,\\\ f(1{,}31250)\approx 0{,}1368687500,\\\ f(1{,}43750)\approx 0{,}0737002160,\\\ f(1{,}56250)\approx 0{,}0344209215,\\\ f(1{,}68750)\approx 0{,}0137999999,\\\ f(1{,}81250)\approx 0{,}0047124636,\\\ f(1{,}93750)\approx 0{,}0013391498. \end{array}
Soma dos pontos-médio:
\sum_{j=1}^{8} f(m_j)\approx 0{,}8068178190.
A regra do ponto médio composta é
M_n = h\sum_{j=1}^{n} f(m_j).
Portanto
M_8 = 0{,}125\cdot 0{,}8068178190 \approx 0{,}1008522274.

Passo 7

Comentários finais didáticos e checagem rápida:
  • Não há singularidade no integrando em [1,2], então não foi necessário completar com limite.
  • As três regras dão aproximações próximas entre si (diferença entre elas é pequena), e a regra de Simpson costuma ser a mais precisa para funções suaves como esta.
  • Eu mantive casas extras nas contas intermediárias para reduzir erro de arredondamento e então arredondei o resultado final a 5 casas decimais, conforme pedido.

Resposta

Trapezóide (9 pontos): 0{,}10236
Simpson 1/3 (9 pontos): 0{,}10138
Ponto médio (8 pontos): 0{,}10085

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