Calcule as integrais abaixo usando regra do trapézio tabelada em 9 pontos, 1 / 3 de Simpson tabelada em 9 pontos e do ponto médio tabelada em 8 pontos. Em caso de singularidade removível, complete com o limite da função. Use 5 casas decimais de precisão.
\int_{-1 / 2}^{1 / 2} \frac{\ln (1+x)}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede a aproximação da integral
\int_{-1/2}^{1/2}\frac{\ln(1+x)}{x}\,dx
pelas três regras tabeladas indicadas:
  • regra do trapézio tabelada em 9 pontos,
  • 1/3 de Simpson tabelada em 9 pontos,
  • regra do ponto médio tabelada em 8 pontos.
    Dados importantes que o enunciado dá:
  • o intervalo de integração é [-1/2,\,1/2];
  • “9 pontos” significa que vamos usar N=8 subintervalos uniformes (nós x_0,\dots,x_8);
  • “8 pontos” para o ponto médio significa que usaremos 8 subintervalos e, portanto, 8 pontos médios;
  • a função é f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}, que tem aparente singularidade em x=0; se for singularidade removível devemos substituir pelo limite.

Passo 2

Trate da singularidade em x=0. Para f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x} temos o limite quando x\to0:
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1,
pois a expansão de \ln(1+x)=x-\tfrac{x^2}{2}+\cdots \ln(1+x)/x\to1. Portanto, na tabela iremos usar
f(0)=1
(como valor definido pela continuidade).

Passo 3

Escolha do particionamento e cálculo de h. Com a=-\tfrac{1}{2}, b=\tfrac{1}{2} e N=8 subintervalos:
h=\frac{b-a}{N}=\frac{1/2-(-1/2)}{8}=\frac{1}{8}=0{,}125.
Os nós (9 pontos) são
x_i = -\tfrac{1}{2} + i\cdot h,\qquad i=0,\dots,8,
isto é
x_0=-0{,}5,\; x_1=-0{,}375,\; x_2=-0{,}25,\; x_3=-0{,}125,\; x_4=0,\; x_5=0{,}125,\; x_6=0{,}25,\; x_7=0{,}375,\; x_8=0{,}5.

Passo 4

Avaliação de f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x} nos nós (substituindo f(0)=1). Vou listar cada valor com precisão suficiente para as contas:
\begin{aligned} f(x_0)=f(-0{,}5)&=\frac{\ln(0{,}5)}{-0{,}5}=1{,}3862943611198906,\\\ f(x_1)=f(-0{,}375)&=\frac{\ln(0{,}625)}{-0{,}375}=1{,}253343011321962,\\\ f(x_2)=f(-0{,}25)&=\frac{\ln(0{,}75)}{-0{,}25}=1{,}1507282898071236,\\\ f(x_3)=f(-0{,}125)&=\frac{\ln(0{,}875)}{-0{,}125}=1{,}0682511368201808,\\\ f(x_4)=f(0)&=1,\\\ f(x_5)=f(0{,}125)&=\frac{\ln(1{,}125)}{0{,}125}=0{,}9422642852510677,\\\ f(x_6)=f(0{,}25)&=\frac{\ln(1{,}25)}{0{,}25}=0{,}8925742052568390,\\\ f(x_7)=f(0{,}375)&=\frac{\ln(1{,}375)}{0{,}375}=0{,}8492099496494257,\\\ f(x_8)=f(0{,}5)&=\frac{\ln(1{,}5)}{0{,}5}=0{,}8109302162163288. \end{aligned}

Passo 5

Aplicação da regra do trapézio composta (9 pontos, N=8). Fórmula composta:
T_N = h\left(\frac{f(x_0)+f(x_N)}{2}+\sum_{i=1}^{N-1}f(x_i)\right).
Calculemos as somas necessárias. Soma dos termos interiores i=1,\dots,7:
\sum_{i=1}^{7}f(x_i)=7{,}156370878106598.
Média dos extremos:
\frac{f(x_0)+f(x_8)}{2}=\frac{1{,}3862943611198906+0{,}8109302162163288}{2}=1{,}0986122886681097.
Somando:
\frac{f(x_0)+f(x_8)}{2}+\sum_{i=1}^{7}f(x_i)=8{,}254983166774708.
Multiplicando por h=0{,}125:
T_8 = 0{,}125\cdot 8{,}254983166774708 = 1{,}0318728958468385.
Arredondando para 5 casas decimais obtemos
T_8 \approx 1{,}03187.

Passo 6

Aplicação da regra composta de Simpson 1/3 (9 pontos, N=8, N par). Fórmula:
S_N = \frac{h}{3}\Big(f(x_0)+f(x_N)+4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{N-1}f(x_i)+2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{N-2}f(x_i)\Big).í
Calculemos as somas pares e ímpares:
\sum_{\text{ímpares}}f(x_i)=f(x_1)+f(x_3)+f(x_5)+f(x_7)=4{,}113068383042636,í
\sum_{\text{pares}}f(x_i)=f(x_2)+f(x_4)+f(x_6)=3{,}0433024950639626.
Então
f(x_0)+f(x_8)+4\sum_{\text{ímpares}}+2\sum_{\text{pares}}=2{,}1972245773362194+16{,}452273532170544+6{,}086604990127925=24{,}736103099634688.í
Multiplicando por h/3=0{,}125/3:
S_8 = \frac{0{,}125}{3}\cdot 24{,}736103099634688 = 1{,}0306717958172786.
Arredondando para 5 casas decimais:
S_8 \approx 1{,}03067.

Passo 7

Aplicação da regra do ponto médio composta (8 pontos médios). Os pontos médios são
m_j = a + \left(j-\tfrac{1}{2}\right)h,\qquad j=1,\dots,8,
ou seja
m_1=-0{,}4375,\; m_2=-0{,}3125,\; m_3=-0{,}1875,\; m_4=-0{,}0625,\; m_5=0{,}0625,\; m_6=0{,}1875,\; m_7=0{,}3125,\; m_8=0{,}4375.
Avaliações f(m_j)=\dfrac{\ln(1+m_j)}{m_j}:
\begin{aligned} f(m_1)&=1{,}3151173312079977,\\\ f(m_2)&=1{,}1990190382125130,\\\ f(m_3)&=1{,}1074099454839697,\\\ f(m_4)&=1{,}0326163382011320,\\\ f(m_5)&=0{,}9699939490629609,\\\ f(m_6)&=0{,}9165347036088498,\\\ f(m_7)&=0{,}8701878895476558,\\\ f(m_8)&=0{,}8294982712899856. \end{aligned}
Soma dos pontos médios:
\sum_{j=1}^{8}f(m_j)=8{,}240377466615064.
Regra do ponto médio composta:
M_8 = h\sum_{j=1}^{8}f(m_j)=0{,}125\cdot 8{,}240377466615064 = 1{,}030047183326883.
Arredondando para 5 casas decimais:
M_8 \approx 1{,}03005.

Passo 8

Resumo rápido (sem formalidades): fizemos a tratamento do ponto singular com o limite f(0)=1, particionamos em N=8 subintervalos ( h=0{,}125), avaliamos f nos nós e nos pontos médios, e aplicamos as fórmulas compostas. As três aproximações (com 5 casas decimais) são dadas abaixo.

Resposta

Regra do trapézio (9 pontos): 1{,}03187
Regra de Simpson 1/3 (9 pontos): 1{,}03067
Regra do ponto médio (8 pontos): 1{,}03005

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