Calcule as integrais abaixo usando regra do trapézio tabelada em 9 pontos,
de Simpson tabelada em 9 pontos e do ponto médio tabelada em 8 pontos. Em caso de singularidade removível, complete com o limite da função. Use 5 casas decimais de precisão.
Passo 1
O enunciado pede a aproximação da integral
pelas três regras tabeladas indicadas:
- regra do trapézio tabelada em 9 pontos,
-
de Simpson tabelada em 9 pontos, - regra do ponto médio tabelada em 8 pontos.
Dados importantes que o enunciado dá: - o intervalo de integração é
; - “9 pontos” significa que vamos usar
subintervalos uniformes (nós ); - “8 pontos” para o ponto médio significa que usaremos 8 subintervalos e, portanto, 8 pontos médios;
- a função é
, que tem aparente singularidade em ; se for singularidade removível devemos substituir pelo limite.
Passo 2
Trate da singularidade em
. Para
temos o limite quando
:
pois a expansão de
dá
. Portanto, na tabela iremos usar
(como valor definido pela continuidade).
Passo 3
Escolha do particionamento e cálculo de
. Com
,
e
subintervalos:
Os nós (9 pontos) são
isto é
Passo 4
Avaliação de
nos nós (substituindo
). Vou listar cada valor com precisão suficiente para as contas:
Passo 5
Aplicação da regra do trapézio composta (9 pontos,
). Fórmula composta:
Calculemos as somas necessárias. Soma dos termos interiores
:
Média dos extremos:
Somando:
Multiplicando por
:
Arredondando para 5 casas decimais obtemos
Passo 6
Aplicação da regra composta de Simpson
(9 pontos,
,
par). Fórmula:
Calculemos as somas pares e ímpares:
Então
Multiplicando por
:
Arredondando para 5 casas decimais:
Passo 7
Aplicação da regra do ponto médio composta (8 pontos médios). Os pontos médios são
ou seja
Avaliações
:
Soma dos pontos médios:
Regra do ponto médio composta:
Arredondando para 5 casas decimais:
Passo 8
Resumo rápido (sem formalidades): fizemos a tratamento do ponto singular com o limite
, particionamos em
subintervalos (
), avaliamos
nos nós e nos pontos médios, e aplicamos as fórmulas compostas. As três aproximações (com 5 casas decimais) são dadas abaixo.
Resposta
Regra do trapézio (9 pontos):
Regra de Simpson 1/3 (9 pontos):
Regra do ponto médio (8 pontos):
Regra de Simpson 1/3 (9 pontos):
Regra do ponto médio (8 pontos):