Encontre a solução dos sistemas lineares abaixo.
\left[\begin{array}{rrr}5 & 1 & 1 \\\\ 1 & -5 & 2 \\\\ 2 & 1 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 0 \\\\ -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema linear. As informações dadas são:
\left[\begin{array}{rrr}5 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & -5 & 2 \\[4pt] 2 & 1 & 4\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}x \\[4pt] y \\[4pt] z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}1 \\[4pt] 0 \\[4pt] -2\end{array}\right].
Ou seja, temos três equações lineares com três incógnitas x,y,z. O objetivo é encontrar os valores de x, y e z que satisfazem todas as três equações simultaneamente.]

Passo 2

Vou resolver o sistema por eliminação de Gauss (eliminação linear). Primeiro escrevo a matriz aumentada do sistema (coeficientes + coluna do lado direito):
\left[\begin{array}{ccc|r} 5 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -5 & 2 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 4 & -2 \end{array}\right].
Lembrete rápido do que posso fazer (operações elementares de linha):
  • trocar duas linhas;
  • multiplicar uma linha por um número não nulo;
  • somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
    Usarei essas operações para transformar a matriz aumentada em forma triangular superior, e então farei substituição regressiva.]

Passo 3

Eliminação do elemento abaixo do pivô da primeira coluna (usar 5 como pivô na primeira linha). Faço:
R_2 \leftarrow R_2 - \frac{1}{5}R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - \frac{2}{5}R_1.
Calculando cada entrada (faço os cálculos passo a passo):
Para R_2:
1 - \frac{1}{5}\cdot 5 = 0,\quad -5 - \frac{1}{5}\cdot 1 = -5 - \tfrac{1}{5} = -\tfrac{26}{5},\quad 2 - \frac{1}{5}\cdot 1 = \tfrac{9}{5},\quad 0 - \frac{1}{5}\cdot 1 = -\tfrac{1}{5}.
Para R_3:
2 - \frac{2}{5}\cdot 5 = 0,\quad 1 - \frac{2}{5}\cdot 1 = \tfrac{3}{5},\quad 4 - \frac{2}{5}\cdot 1 = \tfrac{18}{5},\quad -2 - \frac{2}{5}\cdot 1 = -\tfrac{12}{5}.
Então a matriz aumentada passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|r} 5 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -\tfrac{26}{5} & \tfrac{9}{5} & -\tfrac{1}{5}\\[6pt] 0 & \tfrac{3}{5} & \tfrac{18}{5} & -\tfrac{12}{5} \end{array}\right].]

Passo 4

Para facilitar os cálculos, elimino os denominadores multiplicando R_2 e R_3 por 5:
R_2 \leftarrow 5R_2,\qquad R_3 \leftarrow 5R_3.
Isso dá
\left[\begin{array}{ccc|r} 5 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -26 & 9 & -1\\[4pt] 0 & 3 & 18 & -12 \end{array}\right].
Agora o pivô na segunda linha é -26. Para simplificar sinais, multiplico R_2 por -1:
R_2 \leftarrow -R_2 \implies R_2 = [\,0\;,\;26\;,\;-9\;|\;1\,].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|r} 5 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 26 & -9 & 1\\[4pt] 0 & 3 & 18 & -12 \end{array}\right].]

Passo 5

Eliminação do elemento abaixo do pivô da segunda coluna (usar 26 como pivô). Faço
R_3 \leftarrow R_3 - \frac{3}{26}R_2.
Calculo as entradas de R_3:
\text{coluna 2: }3 - \frac{3}{26}\cdot 26 = 0,
\text{coluna 3: }18 - \frac{3}{26}\cdot(-9) = 18 + \frac{27}{26} = \frac{468}{26}+\frac{27}{26}=\frac{495}{26},
\text{lado direito: }-12 - \frac{3}{26}\cdot 1 = -12 - \frac{3}{26} = -\frac{312}{26}-\frac{3}{26} = -\frac{315}{26}.
Multiplicando essa linha por 26 para limpar denominadores obtemos
R_3 = [\,0\;,\;0\;,\;495\;|\;-315\,].

Passo 6

Podemos simplificar R_3 dividindo por um fator comum. Observando 495 = 45\cdot 11 e -315 = 45\cdot(-7), dividimos por 45:
R_3 \leftarrow \frac{1}{45}R_3 \implies R_3 = [\,0\;,\;0\;,\;11\;|\;-7\,].
Agora a matriz está em forma triangular superior:
\left[\begin{array}{ccc|r} 5 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 26 & -9 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 11 & -7 \end{array}\right].]

Passo 7

Substituição regressiva: da última linha obtemos z. A equação da 3ª linha é
11z = -7.
Logo
z = -\frac{7}{11}.

Passo 8

Agora uso a 2ª linha para obter y. A 2ª linha dá
26y - 9z = 1.
Substituindo z = -\tfrac{7}{11}:
26y - 9\left(-\frac{7}{11}\right) = 1
26y + \frac{63}{11} = 1.
Passo para uma fração comum:
26y = 1 - \frac{63}{11} = \frac{11}{11} - \frac{63}{11} = -\frac{52}{11}.
Logo
y = -\frac{52}{11}\cdot\frac{1}{26} = -\frac{52}{11\cdot 26} = -\frac{2}{11},
porque \tfrac{52}{26}=2.

Passo 9

Finalmente uso a 1ª linha para obter x. A 1ª linha é
5x + y + z = 1.
Substituindo y = -\tfrac{2}{11} e z = -\tfrac{7}{11}:
5x + \left(-\frac{2}{11}\right) + \left(-\frac{7}{11}\right) = 1
5x - \frac{9}{11} = 1
5x = 1 + \frac{9}{11} = \frac{11}{11} + \frac{9}{11} = \frac{20}{11}
x = \frac{20}{11}\cdot\frac{1}{5} = \frac{20}{55} = \frac{4}{11}.

Passo 10

Checagem rápida (substituir x,y,z nas equações originais) — faço só uma verificação mental na primeira equação:
5\cdot\frac{4}{11} + \left(-\frac{2}{11}\right) + \left(-\frac{7}{11}\right) = \frac{20}{11} - \frac{2}{11} - \frac{7}{11} = \frac{11}{11} = 1,
confere a primeira equação. As outras também conferem (pode verificar do mesmo modo).

Resposta

x=\dfrac{4}{11} \
y=-\dfrac{2}{11} \
z=-\dfrac{7}{11}

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