Encontre a solução dos sistemas lineares abaixo.
\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & -1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}6 \\\\ 1 \\\\ 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com três equações e três incógnitas e pede a solução (x,y,z). As informações fornecidas são:
\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\[4pt] 2 & 1 & -1 \\[4pt] 3 & -1 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}x \\[4pt] y \\[4pt] z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l}6 \\[4pt] 1 \\[4pt] 4\end{array}\right].
Ou seja, o sistema explícito é:
\begin{cases} x + y + z = 6,\\[4pt] 2x + y - z = 1,\\[4pt] 3x - y + z = 4. \end{cases}]

Passo 2

Vou resolver pelo método da eliminação (eliminação de Gauss), que é uma sequência de operações nas linhas da matriz aumentada para obter uma forma triangular e então fazer substituição regressiva. Breve explicação didática das ferramentas que usarei:
  • Montamos a matriz aumentada que junta os coeficientes e o vetor independente.
  • Usamos operações elementares por linha (trocar duas linhas; multiplicar uma linha por um número não nulo; somar a um múltiplo de uma linha outra linha) — essas operações preservam o conjunto de soluções do sistema.
  • Objetivo: zerar abaixo dos pivôs (elementos diagonais) para ficar com uma matriz triangular superior; depois obtemos as incógnitas por substituição regressiva.

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada do sistema. Coloco coluna vertical para separar coeficientes e termos independentes:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 2 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 3 & -1 & 1 & 4 \end{array}\right].]

Passo 4

Eliminação da primeira coluna (usar o pivô 1 da primeira linha para zerar entradas embaixo):
  • Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Calculo cada entrada:
    • Coluna 1: 2-2\cdot1=0.
    • Coluna 2: 1-2\cdot1=-1.
    • Coluna 3: -1-2\cdot1=-3.
    • Termo independente: 1-2\cdot6=1-12=-11.
      Então R_2 vira [0\; -1\; -3\; | -11].
  • Faço R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1. Calculo:
    • Coluna 1: 3-3\cdot1=0.
    • Coluna 2: -1-3\cdot1=-4.
    • Coluna 3: 1-3\cdot1=-2.
    • Termo independente: 4-3\cdot6=4-18=-14.
      Então R_3 vira [0\; -4\; -2\; | -14].
A matriz aumentada agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & -1 & -3 & -11\\[4pt] 0 & -4 & -2 & -14 \end{array}\right].]

Passo 5

Simplifico a segunda linha para ter pivô positivo e uso esse pivô para zerar abaixo:
  • Multiplico R_2 por -1 para obter pivô 1: R_2 \leftarrow -R_2 R_2 = [0\; 1\; 3\; | 11].
  • Agora uso R_2 para zerar a entrada -4 em R_3: faço R_3 \leftarrow R_3 + 4R_2. Calculo:
    • Coluna 2: -4 + 4\cdot1 = 0.
    • Coluna 3: -2 + 4\cdot3 = -2 +12 = 10.
    • Termo independente: -14 + 4\cdot11 = -14 +44 = 30.
      Então R_3 vira [0\; 0\; 10\; | 30].
A matriz agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 11\\[4pt] 0 & 0 & 10 & 30 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora resolvo a terceira linha (pivotar a terceira coluna) e faço a substituição regressiva:
  • Normalizo R_3 dividindo por 10: R_3 \leftarrow \tfrac{1}{10}R_3 R_3 = [0\; 0\; 1\; | 3]. Isso significa que \;z = 3.
  • Uso R_3 para eliminar z de R_2: R_2 \leftarrow R_2 - 3R_3. Calculo o termo independente: 11 - 3\cdot 3 = 11 -9 = 2. As entradas das colunas 2 e 3 ficam 1 e 0 respectivamente, então R_2 = [0\; 1\; 0\; | 2]. Isso dá \;y = 2.
  • Uso R_3 para eliminar z de R_1: R_1 \leftarrow R_1 - 1R_3. O termo independente fica 6 - 3 = 3, e a terceira coluna vira 0, então temporariamente R_1 = [1\; 1\; 0\; | 3].
  • Finalmente elimino y de R_1 usando R_2: R_1 \leftarrow R_1 - R_2. O termo independente fica 3 - 2 = 1. Assim R_1 = [1\; 0\; 0\; | 1], que dá \;x = 1.

Passo 7

A forma final da matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right],
logo a solução do sistema é \;x=1,\; y=2,\; z=3. Podemos verificar rapidamente substituindo na primeira equação: 1+2+3=6 (confere); segunda: 2\cdot1+2-3=2+2-3=1 (confere); terceira: 3\cdot1-2+3=3-2+3=4 (confere).]

Resposta

(x,y,z)=(1,2,3)

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