\begin{cases} x + y + z = 6,\\[4pt] 2x + y - z = 1,\\[4pt] 3x - y + z = 4. \end{cases}]
Passo 2
Vou resolver pelo método da eliminação (eliminação de Gauss), que é uma sequência de operações nas linhas da matriz aumentada para obter uma forma triangular e então fazer substituição regressiva. Breve explicação didática das ferramentas que usarei:
Montamos a matriz aumentada que junta os coeficientes e o vetor independente.
Usamos operações elementares por linha (trocar duas linhas; multiplicar uma linha por um número não nulo; somar a um múltiplo de uma linha outra linha) — essas operações preservam o conjunto de soluções do sistema.
Objetivo: zerar abaixo dos pivôs (elementos diagonais) para ficar com uma matriz triangular superior; depois obtemos as incógnitas por substituição regressiva.
Passo 3
Escrevemos a matriz aumentada do sistema. Coloco coluna vertical para separar coeficientes e termos independentes:
Agora resolvo a terceira linha (pivotar a terceira coluna) e faço a substituição regressiva:
Normalizo R_3 dividindo por 10: R_3 \leftarrow \tfrac{1}{10}R_3 dá R_3 = [0\; 0\; 1\; | 3]. Isso significa que \;z = 3.
Uso R_3 para eliminar z de R_2: R_2 \leftarrow R_2 - 3R_3. Calculo o termo independente: 11 - 3\cdot 3 = 11 -9 = 2. As entradas das colunas 2 e 3 ficam 1 e 0 respectivamente, então R_2 = [0\; 1\; 0\; | 2]. Isso dá \;y = 2.
Uso R_3 para eliminar z de R_1: R_1 \leftarrow R_1 - 1R_3. O termo independente fica 6 - 3 = 3, e a terceira coluna vira 0, então temporariamente R_1 = [1\; 1\; 0\; | 3].
Finalmente elimino y de R_1 usando R_2: R_1 \leftarrow R_1 - R_2. O termo independente fica 3 - 2 = 1. Assim R_1 = [1\; 0\; 0\; | 1], que dá \;x = 1.
logo a solução do sistema é \;x=1,\; y=2,\; z=3. Podemos verificar rapidamente substituindo na primeira equação: 1+2+3=6 (confere); segunda: 2\cdot1+2-3=2+2-3=1 (confere); terceira: 3\cdot1-2+3=3-2+3=4 (confere).]