Calcule as integrais abaixo usando os seguintes métodos de resolução numérica para 4 e para 10 subintervalos.
\quad \int_{0}^{2} x^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{2} x^{3}\,dx
usando métodos numéricos com 4 e com 10 subintervalos. As informações relevantes são:
  • O intervalo de integração é [0,2].
  • A função integranda é f(x)=x^{3}.
  • Devemos apresentar aproximações para n=4 e n=10 subintervalos.
    Não há outras informações (por exemplo: quais métodos exatamente foram pedidos). Vou então aplicar dois métodos numéricos padrões e básicos (que costumam aparecer em provas): a regra composta do trapézio e a regra composta de Simpson. Explico e aplico cada um passo a passo.

Passo 2

Antes de tudo, calculemos a integral exata para termos uma referência e entender o erro dos métodos numéricos. A antiderivada de x^{3} é dada pela regra potência:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4} + C.
Aplicando os limites de 0 a 2:
\int_{0}^{2} x^{3}\,dx = \left.\frac{x^{4}}{4}\right|_{0}^{2} = \frac{2^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4} = \frac{16}{4}=4.
Portanto o valor exato é 4. Ter isso em mente vai nos ajudar a ver a qualidade das aproximações.

Passo 3

Vou usar os dois métodos a seguir. Primeiro explico cada fórmula e suas variáveis (a ideia é que você consiga aplicar no exame):
Regra composta do trapézio:
  • Dividimos [a,b] em n subintervalos iguais de largura
h=\frac{b-a}{n}.
  • Os nós são x_{k}=a+k h para k=0,1,\dots,n.
  • A aproximação é
T_{n}=h\left(\tfrac{1}{2}f(x_{0})+\sum_{k=1}^{n-1} f(x_{k})+\tfrac{1}{2}f(x_{n})\right).
Explicação intuitiva: cada subintervalo é aproximado por um trapézio; as meias-pesos \tfrac{1}{2} nas extremidades evitam contar essas contribuições duas vezes.
Regra composta de Simpson (exige n par):
  • Mesma malha com h=(b-a)/n.
  • A aproximação é
S_{n}=\frac{h}{3}\left(f(x_{0})+4\sum_{\substack{k=1\\\ k\\ \text{ímpar}}}^{n-1} f(x_{k})+2\sum_{\substack{k=2\\\ k\\ \text{par}}}^{n-2} f(x_{k})+f(x_{n})\right).í
Explicação intuitiva: Simpson combina aproximações quadráticas em pares de subintervalos; por isso precisa de n par. É exata para polinômios até grau 3.
Agora aplicamos essas fórmulas ao nosso caso com a=0, b=2, f(x)=x^{3}.

Passo 4

Aplicando a regra do trapézio com n=4.
Calcule h:
h=\frac{2-0}{4}=0,5.
Nós: x_{0}=0,\; x_{1}=0{,}5,\; x_{2}=1{,}0,\; x_{3}=1{,}5,\; x_{4}=2{,}0.
Avalia f(x)=x^{3} em cada nó:
\begin{aligned} f(x_{0})&=0^{3}=0,\\\ f(x_{1})&=(0{,}5)^{3}=0{,}125,\\\ f(x_{2})&=1^{3}=1,\\\ f(x_{3})&=(1{,}5)^{3}=3{,}375,\\\ f(x_{4})&=2^{3}=8. \end{aligned}
Some os termos internos:
\sum_{k=1}^{3} f(x_{k}) = 0{,}125 + 1 + 3{,}375 = 4{,}5.
Agora aplique a fórmula:
T_{4}=0{,}5\left(\tfrac{1}{2}\cdot 0 + 4{,}5 + \tfrac{1}{2}\cdot 8\right).
Calcule passo a passo:
\tfrac{1}{2}\cdot 8 = 4,
dentro do parêntese: 0 + 4{,}5 + 4 = 8{,}5.
T_{4}=0{,}5\times 8{,}5 = 4{,}25.

Passo 5

Aplicando a regra do trapézio com n=10.
Calcule h:
h=\frac{2-0}{10}=0{,}2.
Nó geral: x_{k}=\frac{k}{5} para k=0,\dots,10. Assim
f(x_{k})=\left(\frac{k}{5}\right)^{3}=\frac{k^{3}}{125}.
Precisamos da soma das avaliações interiores k=1 a 9:
\sum_{k=1}^{9} f(x_{k}) = \sum_{k=1}^{9}\frac{k^{3}}{125} = \frac{1}{125}\sum_{k=1}^{9} k^{3}.
Use a fórmula da soma dos cubos: \sum_{k=1}^{m} k^{3} = \left(\frac{m(m+1)}{2}\right)^{2}.
Para m=9:
\sum_{k=1}^{9} k^{3} = \left(\frac{9\cdot 10}{2}\right)^{2} = 45^{2} = 2025.
Logo
\sum_{k=1}^{9} f(x_{k}) = \frac{2025}{125} = \frac{81}{5} = 16{,}2.
As extremidades: f(x_{0})=0, f(x_{10})=2^{3}=8.
Aplique a fórmula:
T_{10}=0{,}2\left(\tfrac{1}{2}\cdot 0 + 16{,}2 + \tfrac{1}{2}\cdot 8\right).
\tfrac{1}{2}\cdot 8 = 4,\quad \text{dentro: }16{,}2+4=20{,}2.
T_{10}=0{,}2\times 20{,}2 = 4{,}04.
Também é possível ver isso em frações: T_{10}=\dfrac{101}{25}=4{,}04.

Passo 6

Agora a regra composta de Simpson. Relembrando a fórmula:
S_{n}=\frac{h}{3}\left(f(x_{0})+4\sum_{\substack{k=1\\\ k\\ \text{ímpar}}}^{n-1} f(x_{k})+2\sum_{\substack{k=2\\\ k\\ \text{par}}}^{n-2} f(x_{k})+f(x_{n})\right),í
válida apenas quando n é par. A razão prática: Simpson aproxima cada par de subintervalos por um polinômio de grau 2; por isso combina pontos em padrões 4-2-4-2-… e é exata para polinômios até grau 3.

Passo 7

Aplicando Simpson com n=4. Já temos h=0{,}5 e os valores f(x_{k}) calculados no Passo 4:
f(x_{0})=0,\; f(x_{1})=0{,}125,\; f(x_{2})=1,\; f(x_{3})=3{,}375,\; f(x_{4})=8.
Aplique a fórmula para n=4:
S_{4}=\frac{0{,}5}{3}\left(f(x_{0})+4(f(x_{1})+f(x_{3}))+2f(x_{2})+f(x_{4})\right).
Calcule as somas:
4(f(x_{1})+f(x_{3}))=4(0{,}125+3{,}375)=4(3{,}5)=14,
2f(x_{2})=2\cdot 1 = 2.
Somando tudo dentro do parêntese:
0 + 14 + 2 + 8 = 24.
Então
S_{4}=\frac{0{,}5}{3}\times 24 = \frac{1}{6}\times 24 = 4.
Repare que deu exatamente o valor exato 4. Isso acontece porque Simpson é exato para polinômios de grau até 3.

Passo 8

Aplicando Simpson com n=10. Já temos h=0{,}2 e a representação f(x_{k})=\dfrac{k^{3}}{125}.
Precisamos das somas dos f em índices ímpares e pares:
  • Índices ímpares k=1,3,5,7,9:
\sum_{\substack{k=1\\\ k\\ \text{ímpar}}}^{9} k^{3} = 1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3} = 1+27+125+343+729 = 1225.í
Logo soma dos f ímpares:
\sum_{\text{ímpar}} f(x_{k}) = \frac{1225}{125} = \frac{49}{5} = 9{,}8.í
  • Índices pares k=2,4,6,8:
\sum_{\substack{k=2\\\ k\\ \text{par}}}^{8} k^{3} = 2^{3}+4^{3}+6^{3}+8^{3} = 8+64+216+512 = 800.
Logo soma dos f pares:
\sum_{\text{par}} f(x_{k}) = \frac{800}{125} = \frac{32}{5} = 6{,}4.
As extremidades: f(x_{0})=0, f(x_{10})=8.
Agora aplique Simpson:
S_{10}=\frac{0{,}2}{3}\left(0 + 4\cdot 9{,}8 + 2\cdot 6{,}4 + 8\right).
Calcule dentro:
4\cdot 9{,}8 = 39{,}2,\quad 2\cdot 6{,}4 = 12{,}8.
Soma: 39{,}2 + 12{,}8 + 8 = 60.
Então
S_{10}=\frac{0{,}2}{3}\times 60 = \frac{1}{5}\cdot \frac{60}{3} = \frac{1}{5}\cdot 20 = 4.
Novamente Simpson dá exatamente 4, por ser exato para polinômios de grau até 3.

Passo 9

Resumo dos resultados numéricos e comentários sobre erros:
  • Regra do trapézio: T_{4}=4{,}25 (erro =0{,}25), T_{10}=4{,}04 (erro =0{,}04). O erro do trapézio diminui quando h diminui; para funções suaves o erro escala aproximadamente como h^{2}.
  • Regra de Simpson: S_{4}=4 e S_{10}=4 (erro =0). Simpson é exata para polinômios de grau até 3, por isso integra x^{3} exatamente independentemente de n par (desde que a regra seja aplicada corretamente).
Força! Mesmo que a prova peça só métodos numéricos, sempre vale checar o valor exato quando possível — isso ajuda a avaliar se a sua implementação deu certo.

Resposta

Regra do trapézio ( n=4): 4,25
Regra do trapézio ( n=10): 4,04
Regra de Simpson ( n=4): 4
Regra de Simpson ( n=10): 4

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