Calcule as integrais abaixo usando os seguintes métodos de resolução numérica para 4 e para 10 subintervalos. \quad \int_{0}^{2} x^{3} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{2} x^{3}\,dx
usando métodos numéricos com 4 e com 10 subintervalos. As informações relevantes são:
O intervalo de integração é [0,2].
A função integranda é f(x)=x^{3}.
Devemos apresentar aproximações para n=4 e n=10 subintervalos.
Não há outras informações (por exemplo: quais métodos exatamente foram pedidos). Vou então aplicar dois métodos numéricos padrões e básicos (que costumam aparecer em provas): a regra composta do trapézio e a regra composta de Simpson. Explico e aplico cada um passo a passo.
Passo 2
Antes de tudo, calculemos a integral exata para termos uma referência e entender o erro dos métodos numéricos. A antiderivada de x^{3} é dada pela regra potência:
Explicação intuitiva: cada subintervalo é aproximado por um trapézio; as meias-pesos \tfrac{1}{2} nas extremidades evitam contar essas contribuições duas vezes.
Explicação intuitiva: Simpson combina aproximações quadráticas em pares de subintervalos; por isso precisa de n par. É exata para polinômios até grau 3.
Agora aplicamos essas fórmulas ao nosso caso com a=0, b=2, f(x)=x^{3}.
válida apenas quando n é par. A razão prática: Simpson aproxima cada par de subintervalos por um polinômio de grau 2; por isso combina pontos em padrões 4-2-4-2-… e é exata para polinômios até grau 3.
Passo 7
Aplicando Simpson com n=4. Já temos h=0{,}5 e os valores f(x_{k}) calculados no Passo 4:
Novamente Simpson dá exatamente 4, por ser exato para polinômios de grau até 3.
Passo 9
Resumo dos resultados numéricos e comentários sobre erros:
Regra do trapézio: T_{4}=4{,}25 (erro =0{,}25), T_{10}=4{,}04 (erro =0{,}04). O erro do trapézio diminui quando h diminui; para funções suaves o erro escala aproximadamente como h^{2}.
Regra de Simpson: S_{4}=4 e S_{10}=4 (erro =0). Simpson é exata para polinômios de grau até 3, por isso integra x^{3} exatamente independentemente de n par (desde que a regra seja aplicada corretamente).
Força! Mesmo que a prova peça só métodos numéricos, sempre vale checar o valor exato quando possível — isso ajuda a avaliar se a sua implementação deu certo.
Resposta
Regra do trapézio (n=4): 4,25
Regra do trapézio (n=10): 4,04
Regra de Simpson (n=4): 4
Regra de Simpson (n=10): 4