Calcule as integrais abaixo utilizando a
regra de Simpson com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando a 1ª regra de Simpson com $ n_x = n_y = 4 $. O que isso significa? Basicamente, vamos calcular a integral de $ y \cdot \sin(x) $ nas variáveis $ x $ e $ y $, onde $ x $ varia de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $ e $ y $ varia de $ 0 $ a $ 0,4 $. Para isso, vamos usar a regra de Simpson, que é um método de aproximação para integrais definidas, e como estamos lidando com duas variáveis, faremos isso em duas etapas, uma para cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Regra de Simpson. Ela é usada para aproximar o valor de uma integral definida e é mais precisa que outros métodos como a regra dos trapézios. A regra divide o intervalo de integração em um número par de subintervalos (n), calcula a função nos pontos finais e intermediários, multiplica por certos coeficientes e soma tudo para obter a aproximação da integral.
Como estamos lidando com uma integral dupla, vamos aplicar a regra de Simpson em cada variável separadamente. Vamos começar com a variável $ y $.
Passo 3
Vamos dividir o intervalo de $ y $ de $ 0 $ a $ 0,4 $ em $ n_y = 4 $ partes iguais. O tamanho de cada subintervalo ($ \Delta y $) é dado por:
Os pontos de $ y $ são: $ y_0 = 0 $, $ y_1 = 0,1 $, $ y_2 = 0,2 $, $ y_3 = 0,3 $ e $ y_4 = 0,4 $.
Passo 4
Agora, fazemos o mesmo para $ x $, dividindo o intervalo de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $ em $ n_x = 4 $ partes iguais. O tamanho de cada subintervalo ($ \Delta x $) é:
Os pontos de $ x $ são: $ x_0 = 0 $, $ x_1 = \frac{\pi}{8} $, $ x_2 = \frac{\pi}{4} $, $ x_3 = \frac{3\pi}{8} $ e $ x_4 = \frac{\pi}{2} $.
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes da regra de Simpson para ambos os eixos. Na regra de Simpson, os coeficientes alternam entre $ 4 $ e $ 2 $, começando e terminando com $ 1 $. Então, para $ n = 4 $, os coeficientes são: $ [1, 4, 2, 4, 1] $.
Passo 6
Vamos montar uma tabela para calcular os valores de $ y \cdot \sin(x) $ em todos os pontos da grade formada pelos $ x $ e $ y $ que definimos. Cada combinação de $ x_i $ e $ y_j $ será avaliada na função $ f(x, y) = y \cdot \sin(x) $.
Passo 7
Depois de calcular todos os valores de $ f(x_i, y_j) $, aplicamos os coeficientes de Simpson em ambos os eixos. Primeiro, aplicamos os coeficientes de $ y $ para cada linha fixa de $ x $, e depois aplicamos os coeficientes de $ x $ aos resultados obtidos.
Passo 8
Finalmente, multiplicamos pelo fator
(já que $ n = 4 $) para obter a aproximação final da integral dupla.
Resposta
Após seguir todos os passos e realizar os cálculos necessários, a aproximação da integral dupla utilizando a 1ª regra de Simpson com $ n_x = n_y = 4 $ é aproximadamente: