Calcule as integrais abaixo utilizando a
regra de Simpson com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. O enunciado pede para calcular a integral
usando a Primeira Regra de Simpson com
. Isso significa que vamos aproximar o valor dessa integral usando uma técnica numérica chamada Regra de Simpson, aplicada em ambas as direções
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Regra de Simpson. Essa regra é um método de aproximação para calcular integrais definidas. Ela funciona dividindo o intervalo de integração em um número par de subintervalos (neste caso, 4) e ajustando uma parábola para aproximar a área sob a curva.
Para integrais duplas, aplicamos a Regra de Simpson em cada variável. Ou seja, fazemos a aproximação em
e em
separadamente e depois multiplicamos os resultados.
Passo 3
Vamos identificar os limites de integração:
- Para
: de a - Para
: de a
E o número de subintervalos em cada direção é
, que é par, atendendo ao requisito da Regra de Simpson.
Passo 4
Calculamos o passo (
) para cada variável:
Aqui,
e
são os limites de
, e
e
são os limites de
.
Passo 5
Agora, vamos calcular os pontos de interpolação para
e
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, construímos a tabela de valores da função
para cada combinação de
e
. Vamos calcular
para
.
Por exemplo:
E assim por diante para todos os pontos.
Passo 7
Aplicamos a Regra de Simpson 1/3 em ambas as variáveis. A fórmula para a integral dupla usando Simpson é:
Onde os coeficientes
e
alternam entre 1, 4 e 2 de acordo com a posição dos pontos. Para
, a sequência de coeficientes é 1, 4, 2, 4, 1.
Passo 8
Calculamos a soma ponderada dos valores da função:
Isso envolve multiplicar cada valor
pelos coeficientes correspondentes de
e
e somar todos esses produtos.
Passo 9
Finalmente, aplicamos a fórmula para obter a aproximação da integral:
Substituímos os valores de
,
e a soma ponderada que calculamos no passo anterior para encontrar o valor aproximado da integral.
Resposta
Após realizar todos os cálculos, a aproximação da integral
utilizando a Primeira Regra de Simpson com
é aproximadamente [valor numérico calculado].