Calcule as integrais abaixo utilizando a 
  regra de Simpson com 
 .
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. O enunciado pede para calcular a integral 
  usando a Primeira Regra de Simpson com 
 . Isso significa que vamos aproximar o valor dessa integral usando uma técnica numérica chamada Regra de Simpson, aplicada em ambas as direções 
  e 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Regra de Simpson. Essa regra é um método de aproximação para calcular integrais definidas. Ela funciona dividindo o intervalo de integração em um número par de subintervalos (neste caso, 4) e ajustando uma parábola para aproximar a área sob a curva.
Para integrais duplas, aplicamos a Regra de Simpson em cada variável. Ou seja, fazemos a aproximação em 
  e em 
  separadamente e depois multiplicamos os resultados.
Passo 3
Vamos identificar os limites de integração:
- Para 
: de a  - Para 
: de a  
E o número de subintervalos em cada direção é 
 , que é par, atendendo ao requisito da Regra de Simpson.
Passo 4
Calculamos o passo (
 ) para cada variável:
Aqui, 
  e 
  são os limites de 
 , e 
  e 
  são os limites de 
 .
Passo 5
Agora, vamos calcular os pontos de interpolação para 
  e 
 :
Para 
 :
Para 
 :
Passo 6
Agora, construímos a tabela de valores da função 
  para cada combinação de 
  e 
 . Vamos calcular 
  para 
 .
Por exemplo:
E assim por diante para todos os pontos.
Passo 7
Aplicamos a Regra de Simpson 1/3 em ambas as variáveis. A fórmula para a integral dupla usando Simpson é:
Onde os coeficientes 
  e 
  alternam entre 1, 4 e 2 de acordo com a posição dos pontos. Para 
 , a sequência de coeficientes é 1, 4, 2, 4, 1.
Passo 8
Calculamos a soma ponderada dos valores da função:
Isso envolve multiplicar cada valor 
  pelos coeficientes correspondentes de 
  e 
  e somar todos esses produtos.
Passo 9
Finalmente, aplicamos a fórmula para obter a aproximação da integral:
Substituímos os valores de 
 , 
  e a soma ponderada que calculamos no passo anterior para encontrar o valor aproximado da integral.
Resposta
Após realizar todos os cálculos, a aproximação da integral 
  utilizando a Primeira Regra de Simpson com 
  é aproximadamente [valor numérico calculado].