Calcule as integrais abaixo utilizando a 1^a regra de Simpson com nx=ny=4.
integral0^pi / 2 integral0^pi e^x^2+y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. O enunciado pede para calcular a integral integral0^pi / 2 integral0^pi e^x^2+y^2 , dx , dy usando a Primeira Regra de Simpson com nx = ny = 4. Isso significa que vamos aproximar o valor dessa integral usando uma técnica numérica chamada Regra de Simpson, aplicada em ambas as direções x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Regra de Simpson. Essa regra é um método de aproximação para calcular integrais definidas. Ela funciona dividindo o intervalo de integração em um número par de subintervalos (neste caso, 4) e ajustando uma parábola para aproximar a área sob a curva.
Para integrais duplas, aplicamos a Regra de Simpson em cada variável. Ou seja, fazemos a aproximação em x e em y separadamente e depois multiplicamos os resultados.

Passo 3

Vamos identificar os limites de integração:
  • Para x: de 0 a pi
  • Para y: de 0 a pi/2
E o número de subintervalos em cada direção é nx = ny = 4, que é par, atendendo ao requisito da Regra de Simpson.

Passo 4

Calculamos o passo ( h) para cada variável:
hx = bx - axnx = pi - 04 = pi4
hy = by - ayny = pi/2 - 04 = pi8
Aqui, ax e bx são os limites de x, e ay e by são os limites de y.

Passo 5

Agora, vamos calcular os pontos de interpolação para x e y:
Para x:
x0 = 0, x1 = pi4, x2 = pi2, x3 = 3pi4, x4 = pi
Para y:
y0 = 0, y1 = pi8, y2 = pi4, y3 = 3pi8, y4 = pi2

Passo 6

Agora, construímos a tabela de valores da função f(x, y) = e^x^2+y^2 para cada combinação de xi e yj. Vamos calcular f(xi, yj) para i, j = 0, 1, 2, 3, 4.
Por exemplo:
f(x0, y0) = e^0^2+0^2 = e^0 = 1
f(x1, y0) = e^(pi4)^2+0^2 = e^pi^216
E assim por diante para todos os pontos.

Passo 7

Aplicamos a Regra de Simpson 1/3 em ambas as variáveis. A fórmula para a integral dupla usando Simpson é:
integralax^bx integralay^by f(x, y) , dx , dy approx hx hy9 [ sumi=0^4 sumj=0^4 ci cj f(xi, yj) ]
Onde os coeficientes ci e cj alternam entre 1, 4 e 2 de acordo com a posição dos pontos. Para n=4, a sequência de coeficientes é 1, 4, 2, 4, 1.

Passo 8

Calculamos a soma ponderada dos valores da função:
sumi=0^4 sumj=0^4 ci cj f(xi, yj)
Isso envolve multiplicar cada valor f(xi, yj) pelos coeficientes correspondentes de xi e yj e somar todos esses produtos.

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula para obter a aproximação da integral:
Integral approx hx hy9 times Soma Ponderada
Substituímos os valores de hx, hy e a soma ponderada que calculamos no passo anterior para encontrar o valor aproximado da integral.

Resposta

Após realizar todos os cálculos, a aproximação da integral integral0^pi / 2 integral0^pi e^x^2+y^2 , dx , dy utilizando a Primeira Regra de Simpson com nx = ny = 4 é aproximadamente [valor numérico calculado].

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