Calcule as integrais dadas colocando-as em coordenadas polares:
integral integralR(x^2+y^2) d A, onde R é a região interior à circunferência x^2+y^2-y=0 externa à circunferência x^2+y^2=2 y

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é calcular
integral duplaR(x^2+y^2),dA
sendo a “casquinha” limitada por duas circunferências que, em coordenadas cartesianas, são
  1. .
Conteúdo: mudança pra coordenadas polares.
O que vamos usar:
  • x = r cosθ, y = r sinθ
  • elemento de área
  • achar limites de r e θ a partir das curvas

Passo 2

Primeiro, passamos cada circunferência pra polares:
  1. r^2 - rsinθ = 0 ;Longrightarrow; r = sinθ vira
r^2 = 2rsinθ ;Longrightarrow; r = 2sinθ
  1. sinθ <= r <= 2sinθ vira
O interior de uma e o exterior da outra formam uma região anelar onde, para cada θ,
Como só faz sentido ter e , θ vai de 0 a π.

Passo 3

Na integral, substituímos:
x^2+y^2 = r^2, dA = r,dr,dθ,
logo o integrando fica
(x^2+y^2),dA = r^2,(r,dr,dθ) = r^3,dr,dθ
E os limites:
0 <= θ <= π, sinθ <= r <= 2sinθ
Então
integral duplaR(x^2+y^2),dA =integralθ=0^π!integralr=sinθ^2sinθ r^3,dr,dθ

Passo 4

Fazendo a integral em integralsinθ^2sinθ r^3,dr = lr^44r|r=sinθ^r=2sinθ = 14l((2sinθ)^4 - (sinθ)^4r) = 14l(16sin^4θ - sin^4θr) = 154,sin^4θ :
integral0^π 154,sin^4θ ,dθ = 154integral0^πsin^4θ,dθ
Então a integral vira

Passo 5

Para sin^4θ = 38 - 12cos2θ + 18cos4θ usamos a fórmula de redução de potência:
integral0^πsin^4θ,dθ = integral0^π38,dθ = 38,π
Integrando de 0 a π, os termos com cosseno somam zero, sobrando
154integral0^πsin^4θ,dθ = 154cdot3π8 = 45π32
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Resposta

boxed45pi32

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