Calcule as integrais dadas colocando-as em coordenadas polares:
, onde R é a região interior à circunferência
externa à circunferência
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é calcular
sendo
a “casquinha” limitada por duas circunferências que, em coordenadas cartesianas, são
-
-
.
Conteúdo: mudança pra coordenadas polares.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- x = r cosθ, y = r sinθ
-
- elemento de área
- achar limites de r e θ a partir das curvas
Passo 2
Primeiro, passamos cada circunferência pra polares:
-
vira
-
vira
O interior de uma e o exterior da outra formam uma região anelar onde, para cada θ,
Como só faz sentido ter
e
, θ vai de 0 a π.
Passo 3
Na integral, substituímos:
logo o integrando fica
E os limites:
Então
Passo 4
Fazendo a integral em
:
Então a integral vira
Passo 5
Para
sin^4θ = 38 - 12cos2θ + 18cos4θ usamos a fórmula de redução de potência:
Integrando de 0 a π, os termos com cosseno somam zero, sobrando
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