Calcule as integrais dadas colocando-as em coordenadas polares:
, onde R e o setor do primeiro quadrante limitado por
Passo 1
Beleza, vamos recapitular: a questão pede para calcular
sendo
Conteúdo: coordenadas polares e mudança de variável em integrais duplas.
O que vamos usar:
1)
2)
3) Identificar limites em
Passo 2
Primeiro, desenha na cabeça (ou no papel) o setor: é o “pedaço” de círculo de raio 2 entre
(eixo
) e
(reta
). Então:
-
varia de 0 até 2, -
varia de 0 até .
Em polares a função vira
e o elemento de área é
Passo 3
A integral em coordenadas polares fica
$$\iint_R \frac{1}{\sqrt{x2+y2+1}},dA
= \int_{\theta=0}{\pi/4}!\int_{r=0}{2} \frac{1}{\sqrt{r^2+1}};r,dr,d\theta.$$
Passo 4
Vamos calcular primeiro a integral em
:
A ideia é ver que a derivada de
Logo
Passo 5
Agora voltamos à integral em
: