Calcule as integrais dadas colocando-as em coordenadas polares:
integralegral duplaR 1raizx^2+y^2+1 d A, onde R e o setor do primeiro quadrante limitado por y=0, y=x e x^2+y^2=4

Passo 1

Beleza, vamos recapitular: a questão pede para calcular
integral duplaR 1raizx^2+y^2+1,dA
sendo o setor no primeiro quadrante limitado por , e .
Conteúdo: coordenadas polares e mudança de variável em integrais duplas.
O que vamos usar:
1) , .
2) .
3) Identificar limites em e .

Passo 2

Primeiro, desenha na cabeça (ou no papel) o setor: é o “pedaço” de círculo de raio 2 entre 1raizx^2+y^2+1 = 1raizr^2+1 (eixo ) e (reta ). Então:
  • varia de 0 até 2,
  • varia de 0 até .
Em polares a função vira

e o elemento de área é .

Passo 3

A integral em coordenadas polares fica
$$\iint_R \frac{1}{\sqrt{x2+y2+1}},dA
= \int_{\theta=0}{\pi/4}!\int_{r=0}{2} \frac{1}{\sqrt{r^2+1}};r,dr,d\theta.$$

Passo 4

Vamos calcular primeiro a integral em integral0^2 rraizr^2+1,dr:
ddrl(raizr^2+1r) = rraizr^2+1
A ideia é ver que a derivada de integral0^2 rraizr^2+1,dr = l[raizr^2+1r]0^2 = raiz2^2+1 - raiz0^2+1 = raiz5-1 é
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Passo 5

Agora voltamos à integral em integral0^pi/4 (raiz5-1),dtheta = (raiz5-1),l[thetar]0^pi/4 = (raiz5-1),pi4:

Resposta

boxedpi4,(raiz5-1)

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