Calcule as integrais dadas colocando-as em coordenadas polares: , onde R é a região interior à circunferência
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para calcular
usando troca para coordenadas polares.
Conteúdo: mudança de variável (cartesiano → polar).
O que vamos precisar:
• Relações .
• Elemento de área .
• Encontrar limites em que descrevem a região dada.
Passo 2
Primeiro, entender a região :
– Em cartesianas, é o conjunto de pontos com , .
– Geometricamente, é tudo entre a reta e o círculo , no primeiro quadrante.
Em polares:
O círculo vira simplesmente .
A reta vira
Como estamos no primeiro quadrante, e implicam entre e .
O raio vai de (origem) até a circunferência .
Logo:
Passo 3
Escrever o integrando em polares:
– .
– .
Assim a integral fica
[
\int_{\theta=\arctan(2)}^{\pi/2}
\int_{r=0}^{2}
\bigl(r^2\bigr),\bigl(r,dr,d\theta\bigr)