Calcule as integrais dadas colocando-as em coordenadas polares:
integral0^1 integral2 x^raiz4-x^2(x^2+y^2) d A, onde R é a região interior à circunferência x^2+y^2-y=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para calcular
integralx=0^1!integraly=2x^raiz4 - x^2!(x^2 + y^2),dA
usando troca para coordenadas polares.
Conteúdo: mudança de variável (cartesiano → polar).
O que vamos precisar:
• Relações .
• Elemento de área .
• Encontrar limites em que descrevem a região dada.

Passo 2

Primeiro, entender a região rsintheta = 2,(rcostheta) ;Longrightarrow; tantheta = 2 ;Longrightarrow; theta = arctan(2) :
– Em cartesianas, é o conjunto de pontos com
0 <= r <= 2, arctan(2) ,<= theta <= pi2 ,
.
– Geometricamente, é tudo entre a reta e o círculo , no primeiro quadrante.
Em polares:
  1. O círculo vira simplesmente .
  2. A reta vira
  3. Como estamos no primeiro quadrante, e implicam
    entre e .
  4. O raio vai de (origem) até a circunferência .
Logo:

Passo 3

Escrever o integrando em polares:
integraltheta=arctan(2)^pi/2 integralr=0^2 l(r^2r),l(r,dr,dthetar) = integralarctan(2)^pi/2 integral0^2 r^3,dr,dtheta .
.

Assim a integral fica
[
\int_{\theta=\arctan(2)}^{\pi/2}
\int_{r=0}^{2}
\bigl(r^2\bigr),\bigl(r,dr,d\theta\bigr)

\int_{\arctan(2)}^{\pi/2}
\int_{0}^{2}
r^3,dr,d\theta.
]

Passo 4

Agora é só integrar:
  1. Integral em integral0^2 r^3,dr = r^44|0^2 = 164 = 4 : integralarctan(2)^pi/2 4,dtheta = 4l(tfracpi2 - arctan(2)r)
  2. Integral em :

Resposta

boxed,4l(tfracpi2 - arctan(2)r),
que também pode ser escrito como
.

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