Calcule as integrais dadas colocando-as em coordenadas polares:
integral0^1 integral-4 y^4 y-y^2 e^x^2+y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente reescrever
integral0^1!integral-4y^,4y - y^2 e^x^2+y^2;dx,dy
em coordenadas polares. Isso envolve:
  1. entender bem a região no plano (x,y),
  2. usar a troca x = rcostheta,;y = rsintheta, e
  3. escolher corretamente os limites de r e theta e o jacobiano r,dr,dtheta.

Passo 2

Vamos olhar a região D dada por
0<= y<=1, -4y<= x<= 4y - y^2
No plano, ela é delimitada por:
  • em baixo, o ponto (0,0) (porque quando y=0 temos x=0),
  • em cima, a reta horizontal y=1 de x=-4 até x=3,
  • do lado esquerdo, a reta x=-4y (vai de (0,0) a (-4,1)),
  • do lado direito, a parábola x=4y-y^2 (de (0,0) a (3,1)).

Passo 3

Na troca para polares usamos
x = rcostheta, y = rsintheta,
com jacobiano dx,dy = r,dr,dtheta, e a função vira
e^x^2+y^2;=;e^r^2

Passo 4

Precisamos achar os ângulos extremos.
  • O ponto (3,1) corresponde a theta1 = arctanl(tfrac13r).
  • O ponto (-4,1) corresponde a theta2 = pi - arctanl(tfrac14r).
Para cada thetain[theta1,theta2] o raio r vai de 0 até a interseção com a parábola x=4y-y^2, ou seja:
rcostheta ;=;4,rsintheta ;-;(rsintheta)^2 ;Longrightarrow; r ;=;4sintheta - costhetasin^2theta,

Passo 5

Juntando tudo, a integral em polares fica
integraltheta=arctan(tfrac13)^,pi - arctan(tfrac14) integralr=0^;4sintheta - costhetasin^2theta e^r^2;r,dr,dtheta

Resposta

boxed integral0^1!integral-4y^,4y - y^2 e^x^2+y^2,dx,dy ;=; integralarctan(tfrac13)^,pi - arctan(tfrac14) !!integral0^;4sintheta - costhetasin^2theta e^r^2,r,dr,dtheta

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