Calcule as integrais dadas colocando-as em coordenadas polares:
integral0^2 integralraiz2 x-x^2^raiz4-x^2 1raizx^2+y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^2!integralraiz2x - x^2^raiz4 - x^21raizx^2+y^2,dy,dx
usando coordenadas polares. O assunto aqui é “integrais duplas em coordenadas polares” e a gente vai precisar de:
  1. Converter x = rcostheta, y = rsintheta, e para e via
  1. Lembrar que o elemento de área vira ,
  2. Interpretar o domínio dado pelas curvas e em termos de .

Passo 2

Vamos entender o domínio em (x-1)^2 + y^2 = 1 Longrightarrow r^2 - 2rcostheta = 0;Rightarrow;r = 2costheta :
  • A curva é o semicírculo de raio 2 (metade superior de ).
  • A curva é o semicírculo de raio 1 centrado em , pois
Além disso vai de 0 a 2 e , então está entre 0 e (1º quadrante).

Passo 3

Na integral original o integrando é 1r;dA ;=;1r,(r,dr,dtheta);=;dr,dtheta . Então, em polares:
integraltheta=0^pi/2!integralr=2costheta^2 1,dr,dtheta
Os limites de vêm da pequena circunferência até a grande . E vai de a . Logo a integral vira

Passo 4

Agora é só integrar:
  1. Integral em integral2costheta^2 1,dr ;=; l[rr]2costheta^2 = 2 - 2costheta :
integral0^pi/2 (2 - 2costheta),dtheta = l[2theta - 2sinthetar]0^pi/2 = l(2cdottfracpi2 - 2cdot1r) - (0 - 0) = pi - 2
  1. Integral em :

Resposta

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