Calcule as integrais dadas colocando-as em coordenadas polares:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para calcular a integral dupla
usando coordenadas polares. O assunto aqui é “integrais duplas em coordenadas polares” e a gente vai precisar de:
- Converter
e para e via
- Lembrar que o elemento de área vira
, - Interpretar o domínio dado pelas curvas
e em termos de .
Passo 2
Vamos entender o domínio em
:
- A curva
é o semicírculo de raio 2 (metade superior de ). - A curva
é o semicírculo de raio 1 centrado em , pois
Além disso
vai de 0 a 2 e
, então
está entre 0 e
(1º quadrante).
Passo 3
Na integral original o integrando é
. Então, em polares:
Os limites de
vêm da pequena circunferência
até a grande
. E
vai de
a
. Logo a integral vira
Passo 4
Agora é só integrar:
- Integral em
:
- Integral em
: