Calcule as integrais dadas colocando-as em coordenadas polares:
integralegral duplaR(x^2+y^2) d A, onde R é a região limitada pelas espirais r=theta e r=2 theta para 0 <= theta <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular
∬ₙₓᵣ (x² + y²) dA
onde R é a região limitada pelas espirais
r = θ e r = 2θ, com 0 ≤ θ ≤ 2π.
Isso faz parte de Integrais Duplas em Coordenadas Polares.
Para resolver, a gente vai precisar saber:
  • Como trocar (x,y) por (r,θ), ou seja, x = r cosθ, y = r sinθ
  • Que x² + y² vira r²
  • Que o elemento de área dA vira r dr dθ (Jacobeano)

Passo 2

Primeiro, a parte teórica:
  1. Em coordenadas polares, qualquer ponto do plano é (r,θ), com r ≥ 0 e θ definido.
  2. A relação com o cartesiano é
    x = rcostheta, y = rsintheta.
  3. Logo o integrando x²+y² fica simplesmente
    x^2 + y^2 = r^2.
  4. E o elemento de área dA se transforma em
    dA = r,dr,dtheta.
Assim, a integral original
integral duplaR(x^2+y^2),dA
vira
integral duplaD r^2,(r,dr,dtheta) = integral duplaD r^3,dr,dtheta

Passo 3

Agora, a região D em (r,θ) é dada por
θ varia de 0 a 2π,
r varia de r = θ até r = 2θ.
Então montamos
integraltheta=0^2pi!integralr=theta^2theta r^3 ,dr,dtheta
Vamos primeiro integrar em r:
$$\int_{\theta=0}{2\pi}\Biggl[\frac{r4}{4}\Biggr]_{r=\theta}^{r=2\theta} d\theta
= \int_{0}{2\pi}\Bigl(\frac{(2\theta)4}{4}-\frac{\theta^4}{4}\Bigr)d\theta
= \int_{0}{2\pi}\frac{16\theta4-\theta^4}{4},d\theta
= \int_{0}{2\pi}\frac{15,\theta4}{4},d\theta.$$

Passo 4

Só falta integrar em θ:
154integral0^2pitheta^4,dtheta = 154l[theta^55r]0^2pi = 154cdot(2pi)^55 = 154cdot32pi^55 = 480pi^520 = 24pi^5

Resposta

A integral vale 24pi^5.

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