Calcule as integrais dadas colocando-as em coordenadas polares:
, onde R é a região limitada pelas espirais
para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular
∬ₙₓᵣ (x² + y²) dA
onde R é a região limitada pelas espirais
r = θ e r = 2θ, com 0 ≤ θ ≤ 2π.
Isso faz parte de Integrais Duplas em Coordenadas Polares.
Para resolver, a gente vai precisar saber:
∬ₙₓᵣ (x² + y²) dA
onde R é a região limitada pelas espirais
r = θ e r = 2θ, com 0 ≤ θ ≤ 2π.
Isso faz parte de Integrais Duplas em Coordenadas Polares.
Para resolver, a gente vai precisar saber:
- Como trocar (x,y) por (r,θ), ou seja, x = r cosθ, y = r sinθ
- Que x² + y² vira r²
- Que o elemento de área dA vira r dr dθ (Jacobeano)
Passo 2
Primeiro, a parte teórica:
- Em coordenadas polares, qualquer ponto do plano é (r,θ), com r ≥ 0 e θ definido.
- A relação com o cartesiano é
. - Logo o integrando x²+y² fica simplesmente
. - E o elemento de área dA se transforma em
.
Assim, a integral original
vira
Passo 3
Agora, a região D em (r,θ) é dada por
θ varia de 0 a 2π,
r varia de r = θ até r = 2θ.
Então montamos
θ varia de 0 a 2π,
r varia de r = θ até r = 2θ.
Então montamos
Vamos primeiro integrar em r:
$$\int_{\theta=0}{2\pi}\Biggl[\frac{r4}{4}\Biggr]_{r=\theta}^{r=2\theta} d\theta
= \int_{0}{2\pi}\Bigl(\frac{(2\theta)4}{4}-\frac{\theta^4}{4}\Bigr)d\theta
= \int_{0}{2\pi}\frac{16\theta4-\theta^4}{4},d\theta
= \int_{0}{2\pi}\frac{16\theta4-\theta^4}{4},d\theta
= \int_{0}{2\pi}\frac{15,\theta4}{4},d\theta.$$
Passo 4
Só falta integrar em θ:
Resposta
A integral vale
.