Calcule as integrais dadas colocando-as em coordenadas polares:
integralegral duplaR e^-(x^2+y^2) d A

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR e^-l(x^2+y^2r),dA
usando coordenadas polares.
Conteúdo: coordenadas polares e mudança de variável em integrais duplas.
O que vamos precisar:
  1. Saber que em coordenadas polares , .
  2. Entender que .
  3. Usar o elemento de área .
  4. Descrever a região : como não foi dado nada mais, assumimos que é todo o plano , ou seja vai de a e de a .

Passo 2

Em coordenadas polares, substituímos:
x^2+y^2 = r^2, dA = r,dr,dtheta
Então a integral fica
integral duplaR e^-(x^2+y^2),dA =integraltheta=0^2pi!!integralr=0^infty e^-r^2,r,dr,dtheta

Passo 3

Agora temos uma integral iterada:
integral0^2pigl[integral0^infty e^-r^2,r,drgr]dtheta
Primeiro vamos calcular a integral interna em integral0^infty e^-r^2,r,dr :

Passo 4

Para resolver u = r^2 Longrightarrow du = 2r,dr Longrightarrow r,dr = du2 , fazemos a troca de variável
integral0^infty e^-r^2,r,dr = integralu=0^infty e^-u,du2 = 12integral0^infty e^-u,du = 12l[-e^-ur]0^infty = 12,(0 - (-1)) = 12
Quando , . Quando , .
Assim

Passo 5

Voltando à integral em integral0^2pil(tfrac12r),dtheta = 12integral0^2pidtheta = 12 times 2pi = pi :

Resposta

integral duplaR e^-l(x^2+y^2r),dA = pi

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