Calcule as integrais dadas colocando-as em coordenadas polares:
integral0^a integral0^raiza x-x^2 d y d x(x^2+y^2)^3 / 2 a>0

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui?
O enunciado pede pra calcular a integral dupla
integralx=0^aintegraly=0^raizax - x^2dy,dx(x^2+y^2)^3/2, a>0
usando coordenadas polares.
Conteúdo: mudança de variável para coordenadas polares e análise de convergência de integrais impróprias.
O que vamos precisar:
  • Entender a região de integração no plano .
  • Fazer a troca .
  • Lembrar que o jacobiano é .
  • Verificar se a integral converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos descrever a região
0<= x<= a, 0<= y<= raizax-x^2
A curva y^2 = ax - x^2 ;Longrightarrow; x^2+y^2 = a x ;Longrightarrow; r^2 = a,rcostheta ;Longrightarrow; r = acostheta satisfaz
thetain[0,tfracpi2], 0<= r<= acostheta
Além disso implica entre e , mas como e temos

Passo 3

Agora, trocando para polares:
x^2+y^2 = r^2, dy,dx = r,dr,dtheta
A integranda vira
1(x^2+y^2)^3/2 =1r^3,
e com o 1r^3,r,dr,dtheta =1r^2,dr,dtheta ficamos com
integraltheta=0^pi/2integralr=0^acostheta1r^2,dr,dtheta
Logo a integral é

Passo 4

Vamos olhar a integral em integralr=0^acostheta1r^2,dr =limvarepsilonto0^+integralvarepsilon^acosthetar^-2dr =limvarepsilonto0^+l[-r^-1r]varepsilon^acostheta =limvarepsilonto0^+l(-tfrac1acostheta+tfrac1varepsilonr) :
Repara que . Ou seja, a integral em dá infinito, e não há como “cancelar” isso depois em . Logo a integral é divergente.

Resposta

A integral é divergente (vai a ).

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