Calcule as integrais dadas colocando-as em coordenadas polares:
integralegral duplaR 11+x^2+y^2 d A em que R é a região de interseção entre as inequações x^2+y^2 <= 1 e x+y >= 1.

Passo 1

Beleza, o problema é: calcular
integral duplaR11+x^2+y^2,dA
onde é a interseção do disco com a região acima da reta .
Matéria: integrais duplas e mudança pra coordenadas polares.
O que vamos precisar:
  • Expressar e em termos de .
  • Encontrar o Jacobiano .
  • Traduzir as desigualdades do domínio para limites de e .
  • Integrar em e depois em , usando substituições e resultados clássicos de integrais de .

Passo 2

Troca pra polares:
x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta
  1. O disco r(costheta+sintheta)=1 ;Longrightarrow; r=1costheta+sintheta vira 0<=theta<=pi2, 1costheta+sintheta;<=;r;<=;1 .
  2. A reta
Para a reta corta o disco. Isso ocorre em .
Mas, para a interseção existir com , precisamos de
,
o que limita ainda mais para .
Logo o domínio é

Passo 3

A integral em polares fica
[
\iint_{R}\frac{1}{1+x2+y2},dA

\int_{\theta=0}^{\pi/2}!
\int_{r=\frac1{\cos\theta+\sin\theta}}^{1}
\frac{1}{1+r^2};r,dr,d\theta.
]

Passo 4

Fazemos a integral interna em u=1+r^2, du=2r,dr ;Longrightarrow; integralr1+r^2,dr =12ln(1+r^2) com a troca
integral0^pi/2 l[ tfrac12lnl(1+r^2r)r]r=1costheta+sintheta^r=1 ,dtheta = 12 integral0^pi/2 ln!l(1+1^21+1(costheta+sintheta)^2r) ,dtheta
Portanto a integral vira
[
\int_{0}^{\pi/2}
\Bigl[
\tfrac12\ln\bigl(1+r2\bigr)\Bigr]_{r=\frac1{\cos\theta+\sin\theta}}{r=1}
,d\theta

\frac12
\int_{0}^{\pi/2}
\ln!\Bigl(\frac{1+12}{1+\frac1{(\cos\theta+\sin\theta)2}}\Bigr)
,d\theta.
]

Passo 5

Simplificando dentro do log:
[
\frac{1+1}{1+\frac1{(\cos\theta+\sin\theta)^2}}

\frac{2}{\frac{(\cos\theta+\sin\theta)2+1}{(\cos\theta+\sin\theta)2}}

2,\frac{(\cos\theta+\sin\theta)^2}{2+\sin2\theta}.
]
Então a integral em 1+11+1(costheta+sintheta)^2 = 2(costheta+sintheta)^2+1(costheta+sintheta)^2 = 2,(costheta+sintheta)^22+sin2theta se separa em pedaços do tipo
e .

Passo 6

Para resolvê-las usamos resultados clássicos:
  1. boxed I ;=; G ;+;pi4,ln!l(4-2raiz3r) ou equiva<=ntemente I=G+pi2ln!l(raiz3-1r) .
  2. .
  3. , onde é a constante de Catalan
    ).
Depois de aplicar essas fórmulas e simplificar surge o resultado

Resposta

integral duplaR11+x^2+y^2,dA ;=; G ;+;pi4,ln!l(4-2raiz3r),
onde é a constante de Catalan ( ).

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