Calcule as integrais dadas colocando-as em coordenadas polares:
em que R é a região de interseção entre as inequações
.
Passo 1
Beleza, o problema é: calcular
onde
é a interseção do disco
com a região acima da reta
.
Matéria: integrais duplas e mudança pra coordenadas polares.
O que vamos precisar:
Matéria: integrais duplas e mudança pra coordenadas polares.
O que vamos precisar:
- Expressar
e em termos de . - Encontrar o Jacobiano
. - Traduzir as desigualdades do domínio para limites de
e . - Integrar em
e depois em , usando substituições e resultados clássicos de integrais de .
Passo 2
Troca pra polares:
- O disco
vira . - A reta
dá
Para
a reta corta o disco. Isso ocorre em
.
Mas, para a interseção existir com , precisamos de
,
o que limita ainda mais para .
Mas, para a interseção existir com
o que limita ainda mais para
Logo o domínio é
Passo 3
A integral em polares fica
[
\iint_{R}\frac{1}{1+x2+y2},dA
\int_{\theta=0}^{\pi/2}!
\int_{r=\frac1{\cos\theta+\sin\theta}}^{1}
\frac{1}{1+r^2};r,dr,d\theta.
]
\int_{r=\frac1{\cos\theta+\sin\theta}}^{1}
\frac{1}{1+r^2};r,dr,d\theta.
]
Passo 4
Fazemos a integral interna em
com a troca
Portanto a integral vira
[
\int_{0}^{\pi/2}
\Bigl[
\tfrac12\ln\bigl(1+r2\bigr)\Bigr]_{r=\frac1{\cos\theta+\sin\theta}}{r=1}
,d\theta
\frac12
\int_{0}^{\pi/2}
\ln!\Bigl(\frac{1+12}{1+\frac1{(\cos\theta+\sin\theta)2}}\Bigr)
,d\theta.
]
\int_{0}^{\pi/2}
\ln!\Bigl(\frac{1+12}{1+\frac1{(\cos\theta+\sin\theta)2}}\Bigr)
,d\theta.
]
Passo 5
Simplificando dentro do log:
[
\frac{1+1}{1+\frac1{(\cos\theta+\sin\theta)^2}}
\frac{2}{\frac{(\cos\theta+\sin\theta)2+1}{(\cos\theta+\sin\theta)2}}
2,\frac{(\cos\theta+\sin\theta)^2}{2+\sin2\theta}.
]
]
Então a integral em
se separa em pedaços do tipo
e
.
Passo 6
Para resolvê-las usamos resultados clássicos:
-
. -
. -
, onde é a constante de Catalan
).
Depois de aplicar essas fórmulas e simplificar surge o resultado
Resposta
onde
é a constante de Catalan (
).